分式的基本性质及其运算【知识点归纳】知识点一：分式的定义一般地，如果A ，B 表示两个整数，并且B 中含有字母，那么式子BA叫做分式，A 为分子，B 为分母。

知识点二：与分式有关的条件①分式有意义：分母不为0（0B ≠） ②分式无意义：分母为0（0B =） ③分式值为0：分子为0且分母不为0（⎩⎨⎧≠=0B A ）④分式值为正或大于0：分子分母同号（⎩⎨⎧>>00B A 或⎩⎨⎧<<00B A ） ⑤分式值为负或小于0：分子分母异号（⎩⎨⎧<>00B A 或⎩⎨⎧><0B A ）⑥分式值为1：分子分母值相等（A=B ）⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数（A+B=0）知识点三：分式的基本性质分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。

字母表示：C B C ••=A B A ，CB C ÷÷=A B A ，其中A 、B 、C 是整式，C ≠0。

拓展：分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即BB A B B --=--=--=AA A 注意：在应用分式的基本性质时，要注意C ≠0这个限制条件和隐含条件B ≠0。

知识点四：分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。

步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式。

注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分。

最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做最简分式。

知识点五：分式的通分①分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，叫做分式的通分。

②分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定。

最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母。

确定最简公分母的一般步骤：Ⅰ、 取各分母系数的最小公倍数；Ⅱ、 单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式； Ⅲ、相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的。

Ⅳ、 保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取。

注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解。

知识点六分式的四则运算与分式的乘方① 分式的乘除法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。

式子表示为：db ca d cb a ••=• 分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。

式子表示为cc ••=•=÷b da db a dc b a ② 分式的乘方：把分子、分母分别乘方。

式子n n nb a b a =⎪⎭⎫⎝⎛③ 分式的加减法则：同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。

式子表示为cba cb ±=±c a 异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，然后再加减。

式子表示为bdbcad d c ±=±b a 整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④ 分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式（或整式）。

【精讲精练】 一．分式【例题】下列有理式中是分式的有(1)－3x ；(2)y x ；(3)22732xy y x -；(4)x 81-；(5)35+y ； (6)112--x x ；(7)π12--m ；(8)5.023+m ； 【练习】1、在下列各式m a m x x b a x x a ,),1()3(,43,2,3222--÷++π中，是分式的有_____个 2.找出下列有理式中是分式的代号___________________________ (1)－3x ；(2)yx；(3)22732xy y x -；(4)－x 81；(5) 35+y ；(6)112--x x ；(7) π-12m ； (8)5.023+m .二．分式的值【例题】1.当a 时，分式321+-a a 有意义；2.当_____时,分式4312-+x x 无意义； 3.若分式33x x --的值为零，则x = ；4.当_______时,分式534-+x x 的值为1；5.当______时,分式51+-x 的值为正；6.当______时分式142+-x 的值为负.【练习】1．①分式36122--x x 有意义，则x ；②当x_____时，分式 1x x x -- 有意义；③当x ____时分式x x 2121-+有意义； ④当x_____时,分式11x x +-有意义； ⑤使分式9x 1x 2-+有意义的x 的取值范围是 ；2.当x = 3时，分式bx ax +-无意义，则b ______ 3. ①若分式11x x -+的值为零，则x 的值为 ；②若分式0)1x )(3x (1|x |=-+-，则x 的值为_________________；③分式392--x x 当x __________时分式的值为0；④当ｘ= ＿时，分式22943x x x --+的值为0；⑤当a=______时,分式2232a a a -++ 的值为零； 4.当x __ 时，分式x -51的值为正. 5.当x=_____时,分式232x x --的值为1. 6.若分式231-+x x 的值为负数，则x 的取值范围是__________。

7.x______时,分式x x ++51的值等于21. 8当分式44x x --=-1时,则x______；9.要使2415--x x 与的值相等，则x =__________。

三．分式的基本性质1．把分式0.1220.30.25x x -+的x 系数化为整数，那么0.1220.30.25x x -+=2．化简11341123a b a b +- 3.不改变分式52223x yx y -+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ) A.2154x y x y -+ B.4523x y x y -+ C.61542x y x y -+ D.121546x y x y -+四．约分1．d b a c b a 32232432- 2.()()y x a x y a --271223 3.xx x 22497--4.xy xy y x 222+ 5.m m m -+-1122 6.22969x x x --+【练习】1. 22222b a b ab a -+- 2.63422-+++x x xx 3. 3322b a b ab a ++-五．通分1. ac bb ac c b a 107,23,5422 2.2223211,,13223x x x x x x x x -+---+-+【练习】1. 221,,b a b a b a b --- 2. 222111,,21121a a a a a -+-++六．分式的乘除法1.222224693a a a a a a a +-÷-+-2.23()224x x x x x x -÷-+- 3.22144422a a a a a --⨯-+-七.分式的乘方1．计算2323()a b a b --÷ 2.1201(1)5(2004)2π-⎛⎫-+-÷- ⎪⎝⎭八.分式的混合运算1.23651x x x x x+---- 2.2424422x y x y x x y x y x y x y ⋅-÷-+-+九. 灵活应用 【例题】1.已知115x y +=，则分式2322x xy y x xy y-+++=________ ； 2.已知14x x+=，则2421x x x =++ ． 3．已知++4a 9-b =0，则=--⋅+22222ba aba b ab a _________.4.若432zy x ==则=+--+zy x z y x 232 。

5．已知432cb a ==，则c b a +的值是（）A ．54 B. 47 C.1 D.45【练习】1.已知113x y-=，则分式2322x xy yx xy y +---的值为 ；2.若b ab a b ab a b a +++-=+23,211则=_______.3．若=++=-1,31242x x x x x则_ _。

4.已知a 2-6a+9与│b-1│互为相反数,则式子(a b ba-)÷(a+b)的值为____. 5．已知实数a ，b 满足ab-a-2b+2=0，那么a bab+的值等于（ ）. 十．化简、求值1． abba ab b b a a +÷-+-)(222.有一道题：“先化简，再求值：22241()244x x x x x -+÷+-- 其中，x=—3”．小玲做题时把“x=—3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？5. 当56,1949x y =-=-时，代数式4422222x y y xx xy y x y --⋅-++值为多少？6．先化简，再求值： a a a a a a a a ---⎛⎫-÷ ⎪++++⎝⎭222142442，其中a 满足：2210a a +-=。