K ( x, y) f ( y)dy
f ( x) L2( , )
问A是 否L2( , )上 的 全 连 续 线 性 算 子.
记I n
[n, n]， 令Kn ( x,
y)
K ( x,
0
y)
(x, y) In In (x, y) In In
考 虑Kn ( x, y)所 定 义 的 线 性 算 子An : L2 ( , ) L2 ( , )，
5. 设 aij 2 A：x (i ) (i ) x l 2，其中i aij j
i , j1
j 1
证 明A是 全 连 续 的.
i 1,2,
设x (i ) l 2，y (i ) Ax， 则
2
Ax 2
i2
aij j
aij 2 j 2
aij 2 x 2，
第十章 全连续线性算子
1. 设E1、E2是赋范线性空间，T : E1 E2为有界线性算子，试证：如果 E1、E2中 有 一 个 是 有 限 维 的 ，则T必 是 全 连 续 的.
设E2是有限维的，M为E1中的有界集，因为T有界，所以T(M )是 E2中 的 有 界 集 ， 从 而 是 列紧 集 ， 所 以T是 全 连 续 的.
当E1是 有 限 维 的 ， 因 为T是 线 性 算 子 ， 故T (E1 )( E2 )是E2的 有 限 维 子 空 间 ， T的象 空间 既是 有限 维的，由前 段所 证，T是全 连续 的（. T可看 作E1 T (E1 ) 的有界线性算子）
2. 设E是无限维的Banach 空间，I : E E为恒同算子，（即Ix x，x E） 则I不是全连续的.
i 1,2,
则An (l 2 )是l 2的 有 限 维 子 空 间 ， 故An是 全 连 续 算 子 ， 又x (i ) l 2
5.
则An (l 2 )是l 2的 有 限 维 子 空 间 ， 故An是 全 连 续 算 子 ， 又x (i ) l 2
Ax An x 2 n aij j 2 aij j 2
j1 i 1
故A的 共 轭 算 子A* : l 2 l 2由（ j ) ( aij j ) 确 定. i 1
8. 设K ( x, y)是 全 平 面 上Lebesgue可 积 函 数 ， 且 | K ( x, y) |2 dxdy M 2 ，
作L2( , )上 的 线 性 算 子A：( Af )(x)
i 1 jn1
i n1 j1
n aij 2 j 2 aij 2 j 2
i1 jn1
jn1
in1 j1
j1
aij 2
aij 2 x 2 n
n
aij 2
n
aij 2
aij 2 x 2
i1 jn1
in1 j1
i 1
i 1 j1
i 1 j1
j1
i, j1
所 以A是 有 界 线 性 算 子 ， 且A aij 2 1/ 2
i, j1
现
在
，
对Leabharlann 自然数n，
令
n ij
a
，
ij
1
i,
j
n；
n ij
0，
i
n或
j n，
n
然 后 定 义An : l 2 l 2 : x (i ) (i ) : i ij n j j 1
,
)
1 n1
(0,
,0,n1 ,n2 , )
1 n1
x
所以
A An
1 0 n1
(n )
所 以A是 全 连 续 的.
7. 试求题5中A的共轭线性算子A* .
因 为l 2的 共 轭 空 间 是l 2，x (i )，y (i ) l 2
由
i 1
j1 aij j i
aij j i
由 x Ax x Ax 可 知 ：(I A)(M )是E中 有 界 集.
设yn (I A)(M ) (n 1,2, )，yn y *， 取xn M， 使yn (I A)xn Axn，
因 为A全 连 续 ，{ xn }为 有 界 点 列 ， 故{ Axn }有 收 敛 子 列{ Axnk }， 设Axnk z，
f ( x) L2 ( , )
( An f )(x) Kn ( x, y) f ( y)dy
In K n ( x, y) f ( y)dy In K n ( x, y) xn ( y) f ( y)dy
则 由 xnk ynk Aznk y * z知 ：xnk 收 敛 ， 记y * z x *，
因 为xnk M，M为 闭 集 ， 故x* M， 现 在I A是 连 续 的 ，
故
(I
A)x* lim(I k
A) xnk
lim
k
ynk
y *，
所 以y* (I A)(M )， 故(I A)(M )是 闭 集.
i1 j1
i1 j1
in1 j1
n
aij 2
n aij 2 x 2
i1 j1
i1 j1
所以 A An
i 1
aij 2
j 1
n i 1
n j 1
aij
2
1/
2
0
故A是 全 连 续 的.
(n )
6.
A:
l2
l 2由 下 式 定 义 ：x
( i
)
l 2，Ax
(1 ,
4. 设E为自反Banach 空间，A : E E为有界线性算子，且A把E中弱收敛 序列映成强收敛序列，则A是全连续的.
因为E是自反空间，E是局部弱列紧的，即对E中任一有界点列{ xn } 都有弱收敛子列{ xnk }，依条件{ Axnk }在E中收敛，这说明对E中任一 有界点列{ xn }，{ Axn }都有收敛子列，故A是全连续的.
因为E是无限维的，故E中单位球B不是列紧集，又I(B) B， 故I不是全连续的.
3.设E为Banach 空间，A : E E为全连续算子，试证： I A把E中有界闭集映成有界闭集.
设M为E中 有 界 闭 集 ，A全 连 续 ， 故A(M )为E中 列 紧 集 ， 从 而 是E中 有 界 集 ，
1 2
2
,
,
1 n
n ,
)
试 证 ：A是 全 连 续 的.
令An : l 2 l 2：(1 ,2 , )
(1 ,
1 2
2
,
,
1 n
n
,0,
)，
则An : l 2 l 2是 有 限 维 的 ， 故 是 全 连续 的 ，
又x (i ) l 2
Ax An x
(0,
,0,
n
1
1
n1
,
n
1
2
n2