1.}{ .1的极限是唯一的中的收敛列证明距离空间n x X *.** 0*)**,( )( 0*)*,(*),(*)**,(0)( *** x x x x n x x x x x x n x x x x n n n n ==∞→→+≤≤∞→→→,即所以,则,设ρρρρ第七章距离空间、赋范线性空间2.* }{* }{ .2x x X x x X n n 的任一子列收敛于收敛于中的序列试证距离空间⇔∈.* 0*),( 0*),(}{}{)( *x x x x x x x x n x x kkk n n n n n n →→→∞→→,所以,故的任一子列,依条件,是,设ρρ.*}{.*}{*),( }{}{*),(0*}{*}{000x x x x x x x x x x N n N x x x x n n n n n n n n k k k收敛于此与假设矛盾,故不收敛于显然使的一个子列,于是可选取,使,都存在,使对任意的自然数则必存在,不收敛于,如果的任一子列收敛于反之,设ερερε≥≥>>3),(),(|),(),(| )ii (),(|),(),(| )i ( .3w z y x w y z x y x z y z x X w z y x ρρρρρρρ+≤−≤−:中的任意四个点,证明是距离空间、、、设),(|),(),(|)2()1()2( ),(),(),( ),(),(),()1( ),(),(),( ),(),(),( )i (y x z y z x y x z x z y z x x y z y y x z y z x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρ≤−≤−+≤≤−+≤即得:、结合得再由得由),(),(|),(),(|)4()3()4( ),(),(),(),( ),(),(),(),()3( ),(),(),(),( ),(),(),(),(),(),( )ii (w z y x w y z x w z y x z x w y w z z x x y w y w z y x w y z x z w w y y x z y y x z x ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ+≤−+≤−++≤+≤−++≤+≤即得:、结合得再由得由4距离吗?是定义在实数集合上的2)(),( .4y x y x −=ρ.,24120),(),(),(),(.)(),(2上式就不成立时,,,比如取满足、、不能对所有的因为的距离不是定义在实数集合上>===+≤⋅⋅−=z y x y z z x y x z y x y x y x ρρρρρ.),( }{}{ .5收敛中的基本列,证明是距离空间、设n n n n n y x X y x ρα=.Cauchy }{),(),( |),(),(|||),( 0),( ),( 0),(数列,故收敛是即知再由依条件:n m n m n m m n n m n m n m n y y x x y x y x m n y y m n x x αρρρρααρρ+≤−=−∞→→∞→→5的闭包是闭集。
中的任一集合试证距离空间 X .6A .,' ' 0 )',( ' )),,(,2min(),'( ' ' ' , 2),( , 0 ' 是闭集所以即,故是任意的,,因且所以且,使于是有,,则必如果,因为且,存在,则对任意设A A A A A x x x x x x x x x x x A x A x A x A x x x x x A x A x ⊂⊂∈><≠<≠∈∈∉∈<≠∈>∈εερρερερεεεεεεεεεε6是闭集。
是开集,,试证:,是距离空间,设}),(|{}),(|{0X X .7ερερε≤∈=<∈=>⊂A x X x F A x X x G A . )2,( .)(21),(),(),()2,(),( )i (0000000000是开集,故所以时,,则当,令,则设G G x B A x x y A y x B y A x G x ⊂<+−<+≤∈−=<=∈δεεεερρρδεεδερε.),(1),()',(),(),(1)',('' )ii (0000000是闭集,所以,故即得令,则,满足,取对每个,,,则存在设F F x A x n nx x x x x x A x nx x A x n x x F x F x n n n n n n n n n ∈≤∞→++<+≤+<∈→∈∈ερερρρρερ7.),(1),(),(~ ),( .8上元素间的距离也定义了上的距离,则是距离空间设X y x y x y x X y x ρρρρ+=.),(~),(~),(~),(1),(),(1),(),(),(1),(),(),(1),(),(),(111),(111),(1),(),(~),(),( ),( iii)),(~ ),(~ ii) 0),(~ 0),(~ i)上的距离也定义了所以,则,,设==,且由定义显然有:X y z z x y z y z z x z x y z z x y z y z z x z x y z z x y x y x y x y x y z z x y x X z y x x y y x y x y x y x ⋅⋅+=+++≤+++++=++−≤+−=+=+≤∈=⇔≥ρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρρ8..9完备的试证任一离散空间必是..0),( , 1),( , }{10),( N n N n m n m n n x x x x N n x x N m n x x N m n N X x yx yx y x X →=≥≥<≥⎩⎨⎧≠==,故时,即当=时,,从而当时,使当中任一基本列,则存在是当当是离散空间,设ρρρ9.1)( 0)( )( 1)(0 )( .10=⇒∈=⇒∈∈∀≤≤x f B x x f A x X x x f x f X B A X B A X ,且,满足:上的连续泛函试证必有定义在全空间不相交,、中闭集,且是、是距离空间,设.)( )()( 0),(),(),(),(),(),( .1)( 0)( 1)(0 )(),(),(),()( 0 ),(),( 上连续泛函是,所以故有,且,时,此外,当,且显然满足:,作函数中至少有一个不等于、,任一且是不相交的闭集,故对、因为X x f x f x f B x A x B x B x A x A x X x x x f B x x f A x X x x f x f B x A x A x x f B x A x X x B A n n n n →>+→→∈→=⇒∈=⇒∈∈∀≤≤+=∈ρρρρρρρρρρρ10)()( : .11A L A L E A =的有限子集,证明是赋范线性空间设).()( )( , , }{ }{ )( )( )( }{ )(}{ )( )( ,,, },,,{ 2121A L A L A L x y x i x y j y y y y A L y A L A L y x y A L y A L x n E A L x x x E x x x A i i i i i i i n n j j =∈=∞→→∞→→∈→⊂∃∈⊂=由此可知,,即故,但,使,的一个子列及是局部紧的,故存在中的有界序列,但是,从而使,则维子空间,设的是则线性无关,,不妨设设 11.],[ )1( ],[ ],[ .14的非闭子空间是中的范数,试证按b a C m b a C b a C m ≥.],[ ],[ ],[ ],[],[],[ ],[ )( ],[ ],[的非闭子空间是,即=,故),显然,中稠密(即在逼近,故多项式的全体都可以多项式序列一致一连续函数的线性子空间,因为任显然是b a C b a C b a C b a C b a C P b a C P b a C P t x b a C b a C m m m m ⊂=12. .17中的单位球是凸集试证任一赋范线性空间.)1,0( )1,0( )1,0()1( 1)1()1()1,0()1,0()1,0( 也是凸集类似地是凸集,,即所以,则,,设B B B y x y x y x B y B x ∈−+<−+≤−+∈∈∈λλλλλλλ13..18范数都是等价的试证有限维空间上所有.21)2( ||)1( ||max max|| ,|| 00 },,{ 211121221222111111212111221111121121等价与)可知)、(由(,则记都有,使对任意,的一个基,取是上的两个范数,设是及维线性空间,是设⋅⋅≤≤=≤≤===≤≤=>>⋅⋅∑∑∑∑∑∑∑====≤≤≤≤===x M m m ex x M m m ex e m e m x M x M e x M M E e e E n E ni i n i ii ni i ni ii i ni i ni ni i ni i ni i i n ααααααα 14)(inf )''(',,' },,{ .1911,,11111n n n n n n x x x x x x n E x E x x E nλλλλλλλλ++−=++−∈ ,使得个实数,证明存在中线性无关元,是是实线性空间,设{}{}{}.lim *)''( '* .* )2,1( ,),()(inf },,{ 1110000011,,0101d x x x x x x x x x E x x x x E E x d x x i E x d E x x x x n E E x x L E j j j ni j n n ni i i i i i i i i n n n =−=−=++−=∈→→−=∈==++−=∞→=∑λλλρλλλλ ,则设,中有收敛子列是有限维的,故因中有界序列,是,则使取维子空间,令的是,则记15.\ X .20X A X A X A =⊂是内点)的充分必要条件没有是稀疏集(即是距离空间,试证:设.\\)\(),(0X X A X X x A X x A X x B A x =∈∈≠>∀∈是任意的,所以,即因,所以,没有内点,故,因设必要性,ϕεε∩.)\(),(0\X \ 是稀疏集没有内点,所以的内点,不是,即=,所以,,,,则设充分性,A A A x A X x B x x A X x x X A X n n ϕεε∩>∀→∈∃∈∀=16..21的试证全有界集必是可分.},{111是可分的中稠密,故在至多可数,显然且,则,然后令网,的一个有限,存在然数是全有界集,对每个自设M M A A M A A A M A x x n M n M n n n k n ⊂=⊂=−∞=∪ 17].1,0[ ]1,0[ )1( ]1,0[ .22C C m C m 的距离的完备化空间是按试证≥].1,0[ ]1,0[ ]1,0[]1,0[ ]1,0[ ]1,0[ ]1,0[ ]1,0[ C C C C P C P C P C P C m m m 的完备化空间是,从而,故,但中稠密,即在的全体致逼近,所以,多项式都可以用多项式序列一每一连续函数是完备的距离空间,且我们已经知道⊂⊂⊂=18.],[ Banach ],[ |)(|max .250)()一致收敛(此函数列及其各阶导数素列依范数收敛等价于中元空间,且是下所成的赋范线性空间数次连续函数的全体在范m b a C b a C t xx m m m mi i bt a ≤=∑=≤≤.],[,,1,0 )()(,,1,0 0|)()(|max )( 0|)()(|max )( ],[],[}{ 1)()()()(0)()(o 收敛数列及其各阶导数一致中依范数收敛等价于函即一致收敛于,则,设b a C mi t x t x m i t x t x n t x t x x x n x x b a C x b a C x m i i n i i n bt a mi i i n bt a n n m m n =⇔=→−⇔∞→→−=−⇔∞→→∈⊂≤≤=≤≤∑19.Banach ],[],[],[ 1].,[),,1,0( Banach ],[],[),,1,0(],[}{ 20o 0)(0)()(o 空间是是完备的,即,故中依范数收敛于在的结论,即知中所证再利用,故得,我们可间可以交换顺序,因此求导运算与极限运算之敛,那么数列及其导数都一致收微的函数列,如果此函已知事实:一个连续可,再根据数学分析中的续函数}都一致收敛于某连,{空间,故对每个是中的基本列,而}是,{,对每个中的基本列,由上所证是设b a C b a C y b a C x b a C y m i y y y x i b a C b a C x m i i b a C x m m m n m i i i i n i nm n ∈===.2520.Banach )( ||sup .26空间是所成之赋范线性空间范数试证有界数列的全体依m x x i i iξξ==.Banach 0 ||sup ,2,1 || ,2,1 || , , 0 . )( }{ sup sup )( }{ 0||sup ),( }{ )()()()()()()()()(空间故是是完备的,,即是任意的,故因为时,所以,当,时,,即得当令,时,从而当时,,使当,取任给,则是一有界数列,令而基本列,,因序列,设是收敛,可知对每个由=是一基本列,记设m m x x x x N n i N n m i N m n x x N m n N m x x x x n i x x x m x n i n i in i n i m i n i m n i n n ni ii i n i n i m i n i im n n i n n ∈→>≤−=−≥=≤−≥∞→=≤−≥≤−≥>∈=≤≤∞→→→−=−⊂εεξξεξξεξξεεξξξξξξξξξ 21..29子空间也是完备的试证完备距离空间的闭.}{ . 0000000完备的是中都有极限,所以中任一基本列在,即所以的闭子集,是,但,使完备,故本列,因是一基设的闭子空间是是完备距离空间,设X X X X x X X x x X x X X x X X X n n ∈→∈∃⊂..30空间是闭的试证距离空间的完备子.* * * }{ }{ }{ }{ 000000000000是闭的,,所以,即由极限的唯一性得,使中收敛,即存在在所以是完备的,中基本列,也是,故但中基本列,中收敛列,从而是既是,使,则存在的完备子空间,是设X X X X x x x x x X x X x X X x X x X X x x x X x X x X X n n n n n n n =∈=→∈⊂→∈∈22φρ≠⇒→=⊂∞=∈+∩1,10),(sup ,.31n nA y x n n n n Ay x d A A A X n满足:是:闭集串是完备的充分必要条件试证距离空间.* ),2,1( }{ * * }{ ), ( 0),max(),( 111φρ≠∈=⊂→∈∃∞→→≤∈∞=∞=+∩∩ n n n n n n n n m n m n n n A A x n A x x x X x X X x m n d d x x A x ,这说明,所以,又使故是完备的,中基本列,又是,故当,则必要性,任取23.0),( 0),( 0)( ),(sup ),(sup 0),(sup }|{ }{ 1,,,是完备的,即,即,所以,但,所以,显然,故皆有,又因为,对任意子集,则中基本列,令是充分性,设X x x x x d x x A x A A d A d y x y x A x x d n i x A X x n n n n n n n n n Ay x Ay x j i A x x n i n n nj i →→→≤∈∃⊃→==→=≥=+∈∈∈ρρρρρ24.),2,1( E .321中稠密在开集,试证:中一串稠密的是是完备的距离空间,设E A E n A n n n ∩ ∞==,串依此法可求出一列闭球,那么,此处可取,然后取,中稠密,取在又,,此处可取,使是开集,故存在因,,使,取,,设记),( ).,(),( 210 ),(21),( 2),( 0 2),( 0E 1122122221122221111111111n n n n nx B B x B x B A x B x x A x X A A x B A x x A xx A A γγγγγγγρεγγγερε=⊂<<⊂<∈<⊂><∈>∈=∞=∩25.0 21*),(),(*),(* .* .21:),(111111111中稠密在的任意性即知由,得:由的完备性,存在于是由,且,,具有性质串依此法可求出一列闭球X A x x x x x x B x A B x X A B B B x B B n n n n n n n n n n n n n n n ∩∩∩∞=∞=∞=++><+<+≤∈⊂∈<⊂⊂=εεγερρργγγ26.)( : .33111中紧集是连续映射,证明值域是是紧的,又设是距离空间,,设X X T X X T X X X →.)( )( }{ )()( }{ }{ ),2,1( )( 1中紧集是,故子列,且其极限属于中有收敛,即连续,故,因,设有收敛子列是紧距离空间,故因,使,取,对每个设X X T X T y X T Tx x T T X x x x x X y Tx X x n n X T y n n n n n n n n n k k k ∈→∈→=∈=∈ ..34紧集试证相对紧集的闭包是.0 是紧的故是闭集,也是相对紧的,因网,故的是,是相对紧集,因对任意为距离空间,设M M M M M X M X −>⊂εε27..35续泛函是一致连续的试证紧距离空间上的连.0|)()(||)()(||)()(| 0),(),(),( }{ }{ |)()(|1),(, 0 000一致连续得矛盾,所以,,故,所以,再由,设中存在收敛子列是紧的,故,又,而,,都存在,使对任意自然数的,则必存在不是一致连续上的连续泛函,若是紧距离空间设f y f x f x f x f y f x f x y y x x x y x X x x x x X y f x f ny x X y x n f X f kkkkk k k k k k k n n n n n n n n n n n n n n n n n n →−+−≤−≤→→+≤∈→≥−<∈>ερρρερε28.))(),((sup ),( )( .36111下是完备的在距离的连续映射的全体明:是完备的距离空间,证是紧距离空间,设t y t x y x X X C X X X X Xt ρρ∈=→→().)( ),( ),(),())(),((sup ))(),((sup ))(),(())(),((sup ))(),((sup ),( )( . ),(),( ii) 0),( 0),( i))(, ))(),(())(),((sup ))(),((sup ),()(, 1110001上元素间的距离定义了故时,,此外,当是显然的=及=且,设,=使事实上,必有有意义,,是紧距离空间,故对因为X X C y z z x t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x y x X X C z y x x y y x y x y x y x X X C y x t y t x t y t x X t t y t x y x X X C y x X Xt Xt Xt Xt Xt Xt →••+=+≤+≤=→∈=⇔≥→∈∈=→∈∀∈∈∈∈∈∈ρρρρρρρρρρρρρρρρρ29.)( )( )( ))'(),'(())'(),(())(),(())'(),(()( )}({ 22 ))(),(( )1( ))(),(( , ),( , 0 )1( )(lim )( )}({ 0),())(),(( )( }{ 1111111是完备的,所以且所以的连续映射,是的连续性,即知并注意到每个,然后由上一致收敛于在)式表明()(,时,式即得,当,注意到令,有时,特别当,时,使当,取的映射。