解 子弹、细棒系统的角动量守恒
mv0 y J
y
其中
J
J棒
J子弹
1 3
ML2
my2
mv0 y 1 ML2 my2
3
v0
m
15
刚体转动的典型例题
例10.上题中，若子弹和杆共同偏转30o，子弹的质量为 m ,速度为 v0 。 求 子弹的初速度v0 。
解 由机械能守恒有
1 J2 mgy L Mg (mgy L Mg )cos
11 M Jω0 (t1 t2 )
22
刚体转动的典型例题
例16.求一半径R 50cm 的飞轮对过其中心轴的
转动惯量，在飞轮上绕以细绳，绳末端挂一重物, 其
质量 m1 8.0kg 的让其从 h 2.0m 处静止下落,
测得下落时间 t1 16s ；若用质量 m2 4.0kg 的
重物时, t2 25s , 假定摩擦力矩 Mf 是一个常量 ,
m
S 1 r r sin
F
G
ms m
r
r3
t 2 t
lim S 1 rvsin 1 L
t0 t 2
2m
L C 所以相等的时间内扫过相等的面积。
26
刚体转动的典型例题
例18. 一滑冰者开始转动时 Ek0 J002 2 ，然后
将手臂收回，使转动惯量减少为原来的 1/3，求此时的
转动角速度.
由因为： v2 2ah v 2 mgh
M 2m
6
刚体转动的典型例题
解2 圆盘受力矩 FTR 作用
利用刚体的动能定理, 得
0
FT Rd
1 2
J 2
1 2
J02
绳与圆盘间无相对滑动 v = Rω
v0 0 0 0
由质点的动能定理：
mgh
R FT d
0
1 2
mv2
1 2
v
mv02
2
m m J / R2
上面绕有细绳, 绳的一端固定在滑轮边上，另一端挂一
质量为m的物体而下垂。忽略轴处摩擦。 求 物体 m 由静止下落高度 h 时的速度。
M OR
解1:利用刚体的转到定律求解
m
牛顿第二定律（质点） 转动定律（刚体） 线量和角量的关系
mg FT ma
h
FT
R
1 2
MR2
a R
a 2mg (M 2m)
刚体转动的典型例题
例1 长为 l ,质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平面内转动, 初
始时它在水平位置。求 它由此下摆 角时的 。
解1：利用转到定律求解
O•
ml x
重力矩： M mg l cos
2
转到惯量： J 1 ml 2 3
•C
由转到定律： 1 mgl cos 1 ml 2
2
19
刚体转动的典型例题
例13. 一长为 l，重为W 的均匀梯子，靠墙放置，
墙光滑，当梯子与地面成 角时处于平衡状态，求梯
子与地面的摩擦力。
解：刚体平衡的条件
Fi 0 Mi 0
Ff N2 0 P N1 0
以支点O为转动中心，梯子受
的合外力矩：
N2
l
P Ff
N1
o
P
l cos
2
N2l sin
求飞轮的转动惯量.
解：受力分析、坐标如图
R
R
T
m1
m2
Mf
T mg
y
h
h
23
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
T
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf C 求：J
m1g T1 m1a1
T1R M f
J
a1 R
h
1 2
a1t12
Mf
解 处理这类碰撞问题与过去质点运动相似但又有区别，将分阶
段进行讨论。（1）杆自由下落到将和 m2碰撞，由机械能守
恒得
m1g
l 2
1 2
J
2
3g
l
o m1 ,l
（2）杆和物体m碰2 撞过程 ，由角动量守恒
J J m2l2
1 3
m1l
2
3g l
1 3
m1l
2
m2l
2
m1
3g l
m2
m1 3m2
T
mg
y
m2 g T2 m2a2
T2 R M f
J
a2 R
h
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1 2
a2t
2 2
a1
2h t12
0.0156
m/s
2
a2
2h t22
0.0064
m/s 2
24
刚体转动的典型例题
已知：R 50cm h 2.0m
m1 8.0kg t1 16s
m2 4.0kg t2 25s
Mf
T
T
mgh M 2m
2gh
M OR
FT FT
m
h
7
刚体转动的典型例题
解3. 根据机械能守恒定律
mgh 1 J 2 1 mv2
2
2
v R
v 2 mgh M 2m
M OR
FT FT
m
h
8
刚体转动的典型例题
例4 一长为l、质量为m均质细杆AB，用摩擦可忽略的柱铰链悬挂于A处，
见图。欲使静止的杆AB自铅垂位置恰好能转至水平位置，求必须给杆的 最小初角速度。
1 t2 10rad
2
n 1.6
2π
求（3） t 1s 时轮缘上一点的加速度.
a
r 0.5m at
at a 0.4ms2
t 0.8rad s1
an r 2 0.32m s2
r
an
a
a at2 an2 0.51m s2
arctan(an at ) 38.7
（3）物体m沿2 水平面运动直到静止,由质点的动能定理得
0
1 2
m2v2
m2 gs
v l
s
3lm12
2m1 3m2
17
刚体转动的典型例题
例12. 一条缆索绕过一定滑轮拉动一升降机，滑轮
半径r 0.5m , 如果升降机从静止开始以a 0.4m s2
加速度上升, 求 （1）滑轮角加速度；（2）t 5s 时
O 转动。试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角
加速度和角速度。
（方法一）应用转到定理求ω
m,l
θ mg
O
解： 细杆受重力和铰链对细杆的约束力作用，由转动定理得
1 mglsin 1 ml2 得 3g sin
2
3
2l
4
刚体转动的典型例题
（方法二）应用动能定理求ω
l mg sind 1 (1 ml2 )2
3
g cos l d l d d l d
2
3 dt 3 d dt 3 d
mg
φr
mg
d 3g cos d
2l
d 3g
cos d
0
2l 0
(3gsin )1/2
l
1
刚体转动的典型例题
解2：利用动能定理求解
M 1 mglcos
2
J 1 ml 2 3
O•
ml x
•C
W
0
Md
0
02
23
A 1 J2
2 解得 ω
3g (1 cos θ) l
（方法三）应用机械能守恒求ω
重力势能转化为动能
mg l 1- cos 1 (1 ml2)2 ω 3g (1 cos θ)
2
23
l
m,l θ mg
O
5
刚体转动的典型例题
例3 一个质量为M , 半径为 R 的定滑轮 (当作均匀圆盘 )
2
W dW 0 mg l sin d
π/2
2
mg l 2
p
B
x
11
刚体转动的典型例题
例6. 机器上的两飞轮A和B，通过摩擦啮合后以相同的转速一起转动。A和 B对轴的转动惯量分别为JA和JB ，啮合前的角速度分别为ω10和ω20，求啮 合后二轮的共同角速度ω 。 解：以两飞轮作为研究系统，所受外力为轴力和重力， 对转轴的力矩都为零，故对转轴角动量守恒
l mgcos d
2
lmg sin
2
0
mg
由动能定理
lmg 2
sin
0
1 2
J 2
0
lmg sin 1 J2 2 3gsin
2
2
l
(3gsin )1/2
l
2
刚体转动的典型例题
解3：利用机械能守恒定律求解 运动过程中只有重力做功，故系统机械能守恒
O•
ml
x
。取初始的水平位置为重力势能零点，则有：
求面 θ角及着陆滑行时的速度多大？
m
解
引力场（有心力）系统的机械能守恒 质点的角动量守恒
v0 r0
R
M
O
1 2
mv
2 0
GMm r0
1 2
mv 2
GMm R
mv0r0sin(π ) mv R
v
v0r0sin
R
4v0sin
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
1/ 2
v
v01
3GM
0
Ff
N2
P cot
2
20
刚体转动的典型例题
例14. 一质量为m、长为L的均匀细棒，可在水平桌