=15
A1
17
A x
E B1
D
C y
B
例2 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1
中，点E、F分别是BB1，B1D1的中点，
求证：EF⊥A1D.
z
D1
C1A1F B1ECDyA
B
x
小结作业
1.空间向量的坐标运算是在空间向量基 本定理和空间向量的坐标表示的基础上 建立起来的理论，它与平面向量的坐标 运算的算法原理是一致的，其不同点体 现在空间向量是三维坐标运算，平面向 量是二维坐标运算.
a·b＝x1x2＋y1y2＋z1z2
探究（二）：向量关系的坐标表示
设向量 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2).
思考1：若a//b，则向量a，b的坐标满足 什么关系？ x1＝λx2，y1＝λy2，z1＝λz2(λ∈R). 思考2：若a⊥b，则向量a，b的坐标满足 什么关系？
x1x2＋y1y2＋z1z2 ＝0
3.空间向量可以用坐标表示，从而空间 向量的运算和向量的关系也可以用坐标 表示，其相关结论，我们将逐一探究.
空间向量运算 的坐标表示
探究（一）：向量运算的坐标表示
设{i，j，k}为单位正交基底，向量 a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2).
思考1：向量a＋b用基底{ i，j，k}如何表 示？a＋b的坐标是什么？
a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2，z1＋z2) 思考2：根据上述原理，向量a－b的坐标 是什么？
a－b＝(x1－x2，y1－y2，z1－z2)
思考3：设λ为实数，向量λa用基底{ i，j， k}如何表示？λa的坐标是什么？
λa＝(λx1，λy1，λz1) 思考4：利用a＝x1i＋y1j＋z1k，b＝x2i＋ y2j＋z2k，a·b等于什么？
u u ur A B ＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)，
d A B =( x 2 -x 1 ) 2 + ( y 2 -y 1 ) 2 + ( z 2 -z 1 ) 2
思y2，考z62：)，已若知A u点uP urA= (xl1P u ，uB u ry，1，则z1点)，P的点坐B(标x2是， 什么？
作业： P97练习：1，2，3.
第三章 空间向量与立体几何 3.1 空间向量及其运算
3.1.5 空间向量运算的坐标表示
问题提出
1.空间向量基本定理是什么？ 若三个向量a，b，c不共面，则对空
间任一向量p，存在有序实数组{x，y，
z}，使得p＝xa＋yb＋zc.
2.在空间直角坐标系中，确定向量p的坐 标的基本原理是什么？ 若p＝xe1＋ye2＋ze3，则p＝(x，y，z).
思考3：利用向量a的坐标如何求|a|？
|a|＝ x12 +y12 +z12
思考4：利用向量a，b的坐标如何求它们 的夹角？
cos〈a，b〉＝
x1x2+y1y2+z1z2 x12+y12+z12 x22+y22+z22
思z2)考，5则：向若量点A(x1A，的uuBuy坐r 1，标z是1)什，么点？B(Ax、2，B两y2， 点间的距离如何计算？
P(x1+lx2,y1+ly2,z1+lz2) 1+l 1+l 1+l
大家有疑问的，可以询问和交流
可以互相讨论下，但要小声点
理论迁移
例1 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1 中，点E、F分别是A1B1，C1D1的一个四等 分点，求异面直线BE与DF所成角的余弦
值.
z
D1 F
C1
cos
uuur uuur BE,DF
2.求空间向量的坐标有几何法、差向 量法、待定系数法等，若向量的起点在 原点，一般用几何法；若向量的起点和 终点是一些特殊点，一般用差向量法， 即终点坐标减起点坐标；若向量的具体 位置不确定，一般用待定系数法.
3.对立体几何中的某些证明或计算问 题，如果图形中有三条互相垂直的直线， 可以建立空间直角坐标系，利用向量的 坐标运算求解.