如 1 6 7
1 9 7
137
5 7 3 5 1 3 5 6 3
2 3 9 2 4 9 2 1 9
性质5 将行列式的某一行(列)所有元素的 k倍加到另一行
(列)的对应元素上,行列式的值不变,即:
a11 a12 a1n
a11
a12
a1n
ai1 ai2 ain k
ai1
ai 2
ain
aj 1 aj 2 ajn
例1计算 阶行列式
3
4 1 2
D
15 2
12 0
9 12 1 1
1 20 3 3
解：注意到行列式第2列元素都有因数4，可将其提出来。
3 1 1 2
3 1 1 2
D
4 15 2
3 0
9 1
12 1
4
3 5 2
1 0
3 4 1 1
1 5 3 3
1 5 3 3
将行列式化成上三角型行列式过程中我们希望第1行、第1列
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pj pi pn
a a a a (1) (p1pj pi pn )
1p1
ipj
jpi
npn
D
p1pj pi pn
证毕。
推论1 若行列式的两行(列)的对应元素相同,则行列式为零.
第二节 行列式的性质
一 行列式的性质
在计算行列式的时候,一般都不会直接使用定义,通常会 将行列式进行一些变换,化成容易看出结果的形态,此节就是 讨论行列式的变换遵循什么法则.
定义1 对于行列式
a11 a12 a1n
a11 a12 a1n
D
a21 a22 a2n ,称
a21 a22 a2n
an1 an 2 ann
n i 1
ai
0 0
1 0
0 1
0 0
1
n i 1
ai
0 0 01
以后凡是遇到行列式的所有（或一些）行（列）的元素之和
都相等时，则可以将各列元素加到某一列（行）上去，这样
行列式提出这个相同数后就得到一列（行）1，为以后化成
成三角型行列式做好准备。比如：
1357
D
3 5
5 7
7 1
1 3
为了叙述方便，以后这三种操作分别称第1种、第2 种和第3种，这三种对行列式的值的影响我们在上面几个性 质里已给出结论，其中第3种是使用最频繁的一种。 命题1：任何行列式均可通过第3种行的操作化为上三角形行 列式。
对于行列式 a11 a12 a1n
a21 a22 a2n
an1 an2 ann
an1 an 2 ann
为行列式 D 的转置行列式,记为D T 或 D .
行列式的转置就是将行列式的各行元素依次写到各列上
去,这时 D 的第i行、第j列上的元素就转到 D T 的第j 行、第i
列上来了。比如
237
D -4 1 -3
529
2 -4 5
则 DT 3 1 2
7 -3 9
行列式的转置还可以看成行列式以它主对角线为轴翻转180 度而成。
的主对角线以下的元素都化成了零，这样的行列式就是一个
上三角形行列式。
之前我们曾了解到下三角形行列式的值为其主对角
线元素的乘积，下三角形行列式转置后就是上三角形行列式 ，而转置不改变行列式的值，所以上三角形行列式的值也是 主角线元素乘积，这样这种方法就提供给我们计算行列式值 的一种方法。
二 利用行列式的性质计算行列式
，
而其又可看成从 D 的第1…i…j…n行，
第 p1
又排列
p1
pj pi
pi pj
pn
列取出元素乘积
pn 与 p1 pj pi
，
pn
奇偶性不同，
所以有， (1)(p1pi pj pn ) (1)(p1pj pipn )
所以有
D
a a a a (1) (p1pi pj pn )
1p1
an1 an2 ann
的第 i行、第j 行所有对应元素交换 ,得到
a11 a12 a1n
aj1 aj2 ajn i 行
D
ai1 ai2 ain j 行
an1 an 2 ann
从 D 的第1…i…j…n 行，第
p1 pi pj pn
列取出元素
乘积 a1p1 ajpi aipj anpn ，
若a11 0 ，则可以在红框中不为零的元素所在行的所有
元素直接加到第1行上就可以使第1行第1列的元素不等于零 ，之后就可以重复上面的步骤将第1列主对角线以下元素都 化成零。
在第1列主对角线以下元素都化成零后，我们考察红框中的 元素，与之前的操作完全相同，我们可以将第2列主对角线 以下的元素都化成零，而这个过程并没有改变第1列主对角 线以下的那些零，这个过程一直应用到第n-1列，就使所有列
先看绿框中元素是否都为零，若都是零，则考察红框。若不
全为零，又分成两种情况 a11 0 和 a11 0 。
若 a11
0 ，则通过第1行元素的
-
a12 a11
倍加到第2行，
使行列式第2行、第1列元素化为零。在这个基础上第1行元
素的 -
a13 a11
倍加到第3行，使行列式第3行、第1列元素化为
零。这个过程一直进行下去就可以使行列式第1列元素主对 角线以下的元素都化为零。
D T a21 a22 a2n
an1 an 2 ann
a a a 1 N p1p2pn
p11 p2 2
pnn
a a a D
1 N p1p2pn N 12n
p11 p2 2
pnn
证毕
这最后一步是根据上节最后那个定理1而来。
这个性质揭示了行列式行与列的地位是平等的，凡是关于
其符号为 (1)N(p1pi pj pn ) ，
所以
D
a a a a (1) (p1pi pj pn )
1p1
jpi
ipj
npn
p1pi pj pn
交换每一项中两因数 ajpi 与 aikj 位置有
a a a a
D
(1) (p1pi pj pn )
1p1
ipj
jpi
npn
p1pi pj pn
a11 a12 a1n
bi1 bi2 bin ci1 ci2 cin
an1 a2n ann
an1 a2n ann
注意这3个行列式除第i行元素外其它相同位置上的元素都
对应相同。
证明:由行列式定义,
左边
a b (1)N(p1pi pn ) 1P1 ( iPi ciPi )anPn
可以不参与后面的操作了。
1 3 1 2
1 3 1 2
120 0
2 8
1 4
1 6
4
(8)
120 0
2 0
1 8
1 10 180
0 16 2 7
0 0 10 15
1 3 1 2
02 120 0
00
1 8 0
1 10
5
12
1
2
8
5 2
480
2
这里注意产生零的顺序，是先从第1列开始，然后第2列…… 知道倒数第2列,这样可以减少运算量.
性质1 行列式与其转置行列式相等，即 D DT 。
证第元第：素21行列由a、，p行1第第1，列pap式2p2行2列定2、……义第……在.…2行a列…列p…n第式n…,（nD…行这T…、的些第第第元1pp素行nn恰、列行为第取、D不第p同1的n列列列第，的上p元1的行素n、）个 a11 a12 a1n
遇到爪形行列式，我们可以观察其主对角线上的元素与第1 列（行）元素的比值，然后这些列（行）乘以负的这个比值 统统加到第1列（行）上，这样第1列（行）除主对角线上的 元素外都化为零，而之前是零的那些元素仍然是零，这样我 们就得到一个三角形行列式，因此能获得一个爪型行列式也 是我们努力的方向和常用的解题技巧。
ann
an1 an2 ann
a11 a12 a1n
由于
ai1
ai 2
ain
两行元素对应成比例，所以其值为零
kai1 kai2 kain
an1 an2 ann
右
a1 1
ai1
aj 1
an1
a1 2
ai 2
aj 2
an 2
a1n
ain
左
ajn
ann
证毕
对行列式的操作主要有三种，某行（列）元素乘以数k、 交换两行（列）、某行（列）的k加到另外一行（列上去），
7135
例 3 计算 n阶行列式
1 a1 a1
Dn a1
a1
a2 2 a2
a2
a2
a3 a3 3 an
a3
an
(1) (1) (1)
an
an
4 an
解：由于行列式的各行都有 a1、a2、a3 an，我们将第1行
的（-1）倍加到其它各行去，其它这些行的 a1、a2、a3 an，
反过来也可以叙述成：用一个数乘以行列式可以将这 个数乘行列式的某行或某列上。
证：由行列式定义有
左
a ka a 1 N p1pi pn 1p1
ipi
pnn
p1pi pn
ka a a 1 N p1pi pn
1p1
i pi
pnn
p1pi pn
k
a a a 1 N p1pi pn
性质4. 若一行列式 的第i行(列)的每个元素都可以表成两 项的和,则 等于两个行列式 与 的和, 两个行列式第i 行(列)元 素分别取其中两项中的一项， 行列式的其它各行(列)与 相 同，即：