0 0
0 0
0 1 0 2 0 0
D
0 1997 0 0 0 1998 0 0 0 0 0 0 0 0 1

a1 0 4. 四阶行列式 0 b4
0 a2 b3 0
0 b2 a3 0
b1 0 0 a4
5. 设四阶行列式D4
a b c c b d d b c a b d
1的前面比1大的数有一个 2k ), 故逆序数为 ; ( 1
( 2k 1)的前面比( 2k 1)大的数有一个( 2k ), 故 逆序数为 ; 1
2的前面比2大的数有两个( 2k ,2k 1), 故逆序 数为2; 2k 2的前面比2k 2大的数有两个 2k ,2k (
1), 故逆序数为2; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k 1的前面比k 1大的数有k 1个( 2k ,2k 1, , k 2), 故逆序数为k 1; k的前面比k大的数有k个( 2k ,2k 1,, k 1), 故逆序数为k;
0 a12 a 21 a 22 D5 a 31 a 32 0 a 42 0 a 52 a13 a 23 a 33 a 43 a 53 0 0 a 24 a 25 a 34 a 35 0 0 0 0
例２
解 设 D 5中第1,2,3,4,5行的元素分别为a 1 p1 , a 2 p2 ,
a 3 p3 , a 4 p4 , a 5 p5 , 那么，由D 5中第1,2,3,4,5行可能 的非零元素分别得到
i 1 n i 1 n i 1 n
n
a1 a 2 a n x a2 an x an x
Dn1 x ai a2
i 1

x ai a2 a3
提取第一列的公因子，得
a1 a 2 a n x a2 an n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 x a n . i 1 1 1 1 a2 a3 x
x1 x 2 x n a( x1 x 2 x n1 x1 x 3 x n x 2 x 3 x n ).
当 x1 x 2 x n 0时，还可改写成
D n x 1 x 2 x n [1 a(
1 x1

1 x2

1 xn
)].
评注 本题是利用行列式的性 质把所给的n阶 行列式 D n 用同样形式的 n 1阶行列式表示出来 , 建立了 D n 与n 1阶行列式 D n 1 之间的递推关系有 . 时，还可以把给定的 阶行列式 D n 用同样形式的 n 比 n 1阶更低阶的行列式表示 ，建立比 n 1阶行 列式更低阶行列式之间 的递推关系.
D1 40, D3 20.
由克莱姆法则，得 D D D a 1 2, b 2 3, c 3 1. D D D 于是，所求的多项式为
f ( x ) 2 x 2 3 x 1.
一、填空题
1. 若Dn aij a , 则D aij
2. 行列式
a a x n D n 1 , a a
从而 Dn x1 x 2 x n1 a x n Dn1 .
由此递推，得
D n 1 x 1 x 2 x n 2 a x n 1 D n 2 , 于是 D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x n x n 1 D n 2 .
三、克拉默法则
当线性方程组方程个数与未知数个数相等、 且系数行列式不等于零时，可用克莱姆法则．为 了避免在计算中出现分数，可对有的方程乘以适 当整数，把原方程组变成系数及常数项都是整数 的线性方程组后再求解．
例10
求一个二次多项式 f ( x ), 使 f (1) 0, f ( 2) 3, f ( 3) 28.
典
型
例
题
一、计算排列的逆序数
二、计算（证明）行列式
三、克拉默法则
一、计算排列的逆序数
例１ 求排列 2k 12k 122k 2 32k 3
k 1k 的逆序数, 并讨论奇偶性.
解 分别算出排列中每个元素前面比它大的数码之 和，即算出排列中每个元素的逆序数．
2k排在首位, 故逆序数为 ; 0
所以,当n 1, n 2时, 结论成立. 假设对阶数小于 的行列式结论成立 下证对 n ,
于阶数等于n的行列式也成立 现将 D n 按最后一行 . 展开, 得
Dn 2 cos Dn1 Dn 2 .
由归纳假设,
D n 1 cos(n 1) , D cos(n 2) ,
次数自左至右按递升次 序排列，但不是从 变到 0 n 1, 而是由1递升至n.若提取各行的公因子， 则方 幂次数便从0增至n 1，于是得到 1 1 1
1 2 n 1 3 . n
n 1 n 1
1 Dn n! 1 1
2 3 n
2 2 3 n
2
2

上面等式右端行列式为n阶范德蒙行列式，由 范德蒙行列式知
2 于零. n n还多，则此行列式必等
２
利用范德蒙行列式计算
利用范德蒙行列式计算行列式，应根据范德 蒙行列式的特点，将所给行列式化为范德蒙行列 式，然后根据范德蒙行列式计算出结果。
例3
计算
1
1

1
2 n 2 2 2 3 32 3n . Dn
n
n
2
nn
解 D n 中各行元素分别是一个 数的不同方幂, 方幂
一般来讲,当行列式已告诉其结果而要我们 , 证明是与自然数有关的 结论时, 可考虑用数学归 纳法来证明如果未告诉结果 也可先猜想其结果 . , , 然后用数学归纳法证明 其猜想结果成立 .
小结 计算行列式的方法比较灵活，同一行列式可 以有多种计算方法；有的行列式计算需要几种方 法综合应用．在计算时，首先要仔细考察行列式 在构造上的特点，利用行列式的性质对它进行变 换后，再考察它是否能用常用的几种方法．
将第1列的( a 1)倍加到第2列，将第1列的 ( a２)倍加到第3列， , 将第1列的( a n )倍加到最 后一列，得
1 0 0 1 x a1 0 n D n 1 ( x a i ) 1 a 2 a1 x a 2 i 1 1 a 2 a1 a 3 a 2
d a a c
,
则A14 A24 A34 A44
6. 在五阶行列式中 12a53a41a24a35的符号为 a
2x 1 1 x 中x 3的系数是 x 7. 在函数f x x x 1 2
8. 若a, b为实数, 则当a
a b 0
4
用递推法计算 计算
例８
a x1 a a a x2 Dn a a a
a a . xn
解 依第n列把 D n 拆成两个行列式之和
a x1 Dn a a a a x1 a a a
a a x2 a a a a x2 a a

a a a x n 1 a a a a x n 1 a
a a a a 0 0 . 0 xn
右端的第一个行列式 将第n列的( 1)倍分别 , 加到第1,2, , n 1列, 右端的第二个行列式按 n 第 列展开, 得 x1 0 0 0 x2 0 Dn 0 0 x n 1 0 0 0
于是排列的逆序数为
t 0 1 1 2 2 k 1 k 1 k

21 k 1k 1
2
k
k2
当 k 为偶数时，排列为偶排列，
当 k 为奇数时，排列为奇排列．
二、计算（证明）行列式
１ 用定义计算（证明） 用行列式定义计算
如此继续下去，可得
D n x 1 x 2 x n １a x 1 x 2 x n 2 a x n x 1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 D 2
x1 x 2 x n１a x1 x 2 x n 2 a x n x1 x 2 a x 4 x n x n x n 1 x 3 ( a x 1 a x 2 x 1 x 2 )
n 2
Dn 2 cos cos(n 1) cos(n 2) [cos n cos(n 2) ] cos(n 2) cos n ;
所以对一切自然数 结论成立. n
评注 为了将 D n 展开成能用其同型的D n 1 ,
D n 2 表示, 本例必须按第n行(或第n列)展开, 不能 按第1行(或第1列)展开, 否则所得的低阶行列式 不 是与 D n同型的行列式.
p1 2,3; p3 1,2,3,4,5; p 1,2,3,4,5; 2 p 2,3; 4 p5 2,3.
因为 p1 , p 2 , p 3 , p 4 , p 5 在上述可能取的代码中 , 一个5元排列也不能组成， 故 D 5 0.
评注 本例是从一般项入手，将行标按标准 顺序排列，讨论列标的所有可能取到的值，并注 意每一项的符号，这是用定义计算行列式的一般 方法． 注意 如果一个n阶行列式中等于零的元 素比
解
设所求的二次多项式为
f ( x ) a x2 bx c,
由题意得
f (1) a b c 0, f ( 2 ) 4a 2b c 3 , f ( 3) 9a 3b c 28,
这是一个关于三个未知 a , b, c的线性方程组. 数
D 20 0, D2 60,