古希腊数学家丢番图（Diophantus）用文字缩写来表示未知量 ，在公元250年前后写了一本数学巨著《算术》（Arithmetica） 。其中他引入了未知数的概念，创设了未知数的符号，并有建 立方程序的思想，史称“代数学之父”（Father of algebra）。
代数学发展至今，包含了算术、初等代数、高等代数、数论、 抽象代数（近世代数）五个部分。
2013-2014第二学期
线性代数
任课教师： 时彬彬 部 门：信息学院数学系 办公室：文理大楼 718
课程讨论群：216342152
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电 话: 8242504
数学的研究范畴
数学发展到现在，已经成为科学世界中拥有100 多个主要分支学科的庞大的“共和国”。大体来说， 有三大类数学构成了整个数学的本体与核心：
研究数的部分属于代数学的范畴； 研究形的部分属于几何学的范畴； 沟通形与数且涉及极限运算的部分，属于分析学的
范畴.
在这一核心的周围，由于数学通过数与形这两个 概念，与其它科学互相渗透，而出现了许多边缘学科 和交叉学科，如代数几何学，拓扑学、测度论、金融 数学，生物数学等。
“代数” 一词的由来
序言
线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的， 它是近世代数的一个分支。
近世代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，主 要研究各种代数运算。由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿 贝尔，一个叫伽罗瓦。
阿贝尔的一生是不幸的。他在当时所写的数学论文都没有 得到老一辈数学家们的重视。如：他曾五次将一篇“五次方程 不能由公式给出其解”的论文寄给在格廷根的高斯，但都没有 得到回音。由于他的不断出外求学，致使经济状况十分糟糕， 最后只得回到自己的故乡—挪威。没过多久，他就在忧郁中结 束了自己年仅27岁的短暂生命。就在他死后的第三天，他的朋 友通知他，他已被柏林大学聘请为数学教授。
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第1章 行列式
一、行列式的概念 二、行列式的性质与计算 三、克拉默（克莱姆）法则
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行列式发展史
行列式最早是一种速记的表达式，出现于线性方程组的 求解，现已是数学中一种非常有用的工具。
➢ 发明人: 德国数学家莱布尼茨；日本数学家关孝和. ➢ 1750 年，瑞士数学家克拉默(Gramer)——著有《线性代数
《线性代数》研究对象与逻辑结构概述
一、研究对象
以讨论线性方程组的解为基础，研究线性空间的结构、线性变换的形式.
二、核心方法
通过初等变换，将方程组化为最简形式的同解方程组求解.主要流程为：
行初等变换
方程组
矩阵
行最简形矩阵
方程组的解
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三、逻辑结构
例1．
x1

x1

x2 x2
, x2

a11b2 a11a22
b1a21 a12a21
为便于叙述和记忆， 引入符号
D = a11 a12 a21 a22
称D为二阶行列式.
按照二阶行列式定义可得
a11a22 a12a21
D1 = b1 a12 b2 a22
D2 =
a11 a21
b1 b2
b1a22 a12b2 a11b2 b1a21
a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 称D为三阶行列式. a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
当D

0 时，x j

Dj ， D
j
=
1，2，3
其中D1, D2, D3分别为将D的第1、2、3列换为常数项后得到的行列式.
➢ 德国数学家雅可比——继柯西之后，在行列式理论方面最 多产的数学家，引进了函数行列式(雅可比行列式)，指出 函数行列式在多重积分的变量替换中的作用，给出了函数 行列式的导数公式雅可比的著名论文《论行列式的形成和 性质》标志着行列式系统理论的建成；
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第1章 行列式
第1节 行列式的概念
序言
线性代数是从线性方程组论、行列式论和矩阵论中产生的， 它是近世代数的一个分支。
近世代数是研究各种抽象的公理化代数系统的数学学科，主 要研究各种代数运算。由两个不得志的青年所创建的，一个叫阿 贝尔，一个叫伽罗瓦。
伽罗瓦的一生充满忧伤和苦恼，景况比阿贝尔还要差。他 在事业上不断受挫，他上交给科学院的论文，没有得到当时时 任科学院院长的数学家—柯西的及时评价，最后连手稿都丢失。 最后一次甚至得到数学家—泊松的草率的评语“一个不可理解 的”。他于21岁在一次决斗中死去。
Q: 什么是《线性代数》？
线性（linear）：指量与量之间按比例、成直线的关系，在数学 上可以理解为一阶(偏)导数为常数的函数；
非线性（non-linear）: 则指不按比例、不成直线的关系，一阶 导数不为常数。
线性代数起源于对二维和三维直角坐标系的研究。 在这里， 一个向量是一个有方向的线段，由长度和方向同时表示。这样向 量可以用来表示物理量，比如力，也可以和标量做加法和乘法。 这就是实数向量空间的第一个例子。
1
显然，此方程组有唯一解.
例4．
a11x1a12x2 a1nxn b1 a21x1a22x2 a2nxn b2 ，
am1x1am2x2 amnxnbm
此方程组如何求解
？
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四、主要内容
第一章 行列式
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例1 计算三阶行列式
1 23 4 0 5 106 25 (1) 3 40 1 0 6 3 0 (1) 150 246
58
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1.2 排列
定义1 n 个自然数1,2,…,n 按一定的次序排成的一个无重复数字 的有序数组称为一个 n 级排列，记为i1i2…in.显然，n 级排列共有 个n! .其中，排列12…n称为自然排列.
分析导引》给出了行列式的定义、展开法则及克拉默法则 ；
➢ 法国数学家贝祖——将确定行列式每一项符号的方法进行 了系统化，利用系数行列式概念指出了如何判断一个齐次 线性方程组有非零解；
➢ 法国数学家范德蒙——对行列式理论做出连贯的逻辑的阐 述，把行列式理论与线性方程组求解相分离，给出了用余 子式来展开行列式的法则；
序言
线性代数的研究背景
求解线性方程组或许是数学问题中最重要的问题。
超过75%的科学研究和工程应用中的数学问题，在 某个阶段都涉及求解方程组。
利用新的数学方法，通常可以将较为复杂的数学问 题化为线性方程组。
广泛应用于商业、经济学、社会学、统计学、遗传 学、电子学、工程学以及物理学等领域。因此，本 课程从讨论线性方程组开始。
如，3421 是4级排例； 25431 是一个5级排列.
例2．写出所有的3级全排列.
解：所有的3级排列为：
123， 132， 213， 231， 312， 321 .
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逆序及逆序数 定义2 在一个级排列i1i2 in中，若一个较大的数排在一个较小数
的前面，则称这两个数构成一个逆序.一个排列中逆序的总数，称为
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注 对角线法则
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32 .
注意 红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素 的乘积冠以负号． 说明 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．

x3 x3

0 0
,
x1 x2
1
显然，此方程组无解.
例2．
x1 x1

x2 x2

xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x3

x4 x4

0 0
,
显然，此方程组有无穷多解.
N
方程组有解？
Y Y
是唯一解？
N
求通解，停止
无解，停止 求唯一解，停止
例3．
x1 x1

x2 x2

3 ,
于是，当D≠0时，方程组的解为
x1

D1 D
,
x2

D2 D
.
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三阶行列式
求解三元方程组
aa2111xx11

a12 a22
x2 x2

a13 x3 a23 x3

b1 b2
a31x1 a32 x2 a33x3 b3
a11 a12 a13 类似引入符号 D a21 a22 a23
x1 x2 3
理论工具

x1

x2

1
第二章 向量与矩阵
理论基础，重点
第三章 线性方程组 第四章 矩阵对角化与二次型化简
具体应用
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五、基本要求
理解内在逻辑，掌握运算技能；记录分析思路，及时完成作业.
附： 关于作业和作业纸问题 1．统一要求使用专用的作业纸；作业纸不足者，可联 合购买使用，由课代表联系任课教师办理； 2．作业由课代表同学收齐后，于下周第一次课前交给 任课老师，并注意以下问题： ① 作业首页上写清楚个人的学号； ② 课代表同学负责： ⑴将每个同学的作业的左上角用订书机订好； ⑵将收齐后的作业按从小到大的学号顺序排序.