复合函数含义：函数y=log 2x 是对数函数，那么函数y=log 2(2x-1)是什么函数呢?我们可以这样理解：设y=log 2u ，u=2x-1，因此函数y=log 2(2x-1)是由对数函数y=log 2u 和一次函数u=2x-1经过复合而成的。
一般地：若)(u f y =，又)(x g u =，且)(x g 值域与)(u f 定义域的交集不空，则函数)]([x g f y =叫x 的复合函数，其中)(u f y =叫外层函数，)(x g u =叫内层函数，简而言之，所谓复合函数就是由一些初等函数复合而成的函数。
简言之：复合函数就是: 把一个函数中的自变量替换成另一个函数所得的新函数. 例如: f(x) = 3x+5, g(x) = x 2+1; 复合函数f(g(x))即把f(x)里面的x 换成g(x),f(g(x)) = 3g(x)+5 = 3(x 2+1)+5 = 3x 2+8.对于有关复合函数定义域问题我们可以分成以下几种常见题型： （一）求复合函数表达式； （二）求复合函数相关定义域； （三）复合函数的单调性； （四）函数性质等与复合函数结合。
新课程中复合函数相关题： 7，如果tt t g t t t f -=+=1)(,1)(，证明：)(2)()(2t g t g t f -=-。
8、已知函数)(x f 与)(x g 分别由下表给出，那么_____________________))1((=f f _____________________))2((=g f _____________________))3((=f g _____________________))4((=g g9、设函数32)(+=x x f ，函数53)(-=x x g ，求))(()),((x f g x g f 。
7、已知)(x f 是一个定义在R 上的函数，求证：（1）)()()(x f x f x g -+=是偶函数；（2）)()()(x f x f x h --=是奇函数。
20、求满足下列条件的函数)(x f 的解析式： （1）23)1(+=+x x f ；（2）13)2(2+=x x f 。
22、如果1)(+=x x f ，试求)))(((x f f f 的表达式，并猜一猜）（个+∈N n x f f f f fn ))))((((的表达式。
23、（1）函数)(x f y =与)(x f y -=的图象之间有什么关系？（2）已知函数12)(2--=x x x f 的图象如图所示，画出下列函数的图象：①)(x f y -=；②)(x f y -=；③1)(+=x f y ；④)2(-=x f y 。
（必修1 p94 ）⑴已知20()2000x x f x x x ⎧>⎪==⎨⎪<⎩，，，，则(4)___[(3)]___f f f =-=，．⑵已知()f x 与()g x 分别由下表给出，那么(f ⑶已知函数2()1f x x =+，①求()(1)(1)f a f a f x ++，，； ②若函数()1g x x =+，求(())f g x ． 变题：已知函数x x f =)(，1)(2-=x x g ，求：①)(a f ；②(())f g x ；③(())f g x 的定义域；④))((x f g ．⑷已知函数()21[12]f x x x =-∈-，，，2()32[25]g x x x x =+∈，，，求[()]f g x .（一）求复合函数表达式；例1.已知f(x)=x+，g(x)=x 2-2，求f[g(x)]和g[f(x)]的解析式。
例2、（1）设 f(x)=2x -3 g(x)=x 2+2 求f[g(x)]（或g[f(x)]）。
（2）已知：f(x)=x 2-x+3 求：f(x1) f(x+1) （二）求复合函数相关定义域；一、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。
例1 已知)(x f 的定义域为]30(，，求)2(2x x f +定义域。
解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即⎩⎨⎧≤≤->-<⇔⎪⎩⎪⎨⎧≤+>+⇔≤+<13023202320222x x x x x x x x x ，或即23-<≤-x 或10≤<x故)2(2x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --【评注】所谓定义域是指函数中自变量x 的取值范围，因此我们可以直接将复合函数中x x 22+看成一个整体x ，即由30≤<x 可得3202≤+<x x ，解出x 的范围即可。
（2006年湖北卷）设()x x x f -+=22lg ，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为 （B ）A. ()()4,00,4 -B. ()()4,11,4 --C. ()()2,11,2 --D. ()()4,22,4 -- 二、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
例2 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解 21≤≤-x ， 5231≤-≤-∴x ， 故函数()x f 的定义域为[]5,1-【评注】由()x f 23-的定义域为[]2,1-得21≤≤-x ，有的同学会误将此x 的范围当作()x f 的定义域，为了更易分清此x 非彼x ，我们可将x 23-令成一个整体t ，即x t 23-=，先解出()t f 的定义域，即为()x f 的定义域。
三、已知复合函数()][x g f 的定义域，求()][x h f 的定义域结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。
例3 已知)1(+x f 的定义域为)32[，-，求()2-x f 的定义域。
解 由)1(+x f 的定义域为)32[，-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1四、已知()x f 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。
例4 已知函数()x f 定义域为是],[b a ，且0>+b a 求函数()()()m x f m x f x h -++=()0>m 的定义域 解 ⎩⎨⎧+≤≤+-≤≤-⇒⎩⎨⎧≤-≤≤+≤m b x m a mb x m a b m x a b m x a ，m a m a m +<-∴>,0 m b m b +<-，又m b m a +<-要使函数()x h 的定义域为非空集合，必须且只需m b m a -≤+，即20ab m -≤<，这时函数()x h 的定义域为],[m b m a -+【评注】由于所得不等式组中两个不等式的四个“端点”都含有字母，所以既要分别判断它们左、右端点值的大小，还要交叉判断第一个不等式的左端点与第二个不等式的右端点和第一个不等式的右端点与第二个不等式的左端点的大小，需要特别指出的是，函数的定义域不能是空集。
（三）复合函数的单调性；函数单调性是函数的核心内容之一，也是高考中重点考查的知识，又多以考查复合函数的单调性居多. 复合函数的单调性的复合规律为：若函数y=f(u)与u=g(x)的增减性相同(相反)，则y=f[g(x)]是增(减)函数，可概括为“同增异减” .定理：设y=f(u)，u=g(x)，已知u=g(x)在[a ，b]上是单调增(减)函数，y=f(u)在区间[g(a)，g(b)](或[g(b)，g(a)]上是单调增(减)函数，那么复合函数y=f[g(x)]在[a ，b]上一定是单调函数，并有以下结论：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围； (5)求出复合函数的单调性。
一、外函数与内函数只有一种单调性的复合型：例1 (95·全国·理)已知函数y=log a (2-ax)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是( )(A).(0,1) (B).(1,2) (C).(0,2) (D).[2，+∞) 解：设y= log a u ，u=2-ax ，∵a 是底数，所以a>0，∵ 函数y=log a u 在u ∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax 在区间x ∈[0,1]上是减函数， ∴ y= log a u 是u ∈(0, +∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)= 2-ax ，由{g(0)=2-a ·0>0g(1)=2-a ·1>0，解得a<2，∴1<a<2，故选(B).二、外函数只有一种单调性，而内函数有两种单调性的复合型：例2 (84·全国·理)函数y=log 0.5(x 2+4x+4)在什么区间上是增函数？ 解：令y= log 0.5u ，u= x 2+4x+4，由x 2+4x+4>0知函数的定义域为x ≠0，因y= log 0.5u 在u ∈(0,+∞)上是减函数，而u= x 2+4x+4在x ∈(-∞，-2)上是减函数，在(-2，+ ∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log 0.5(x 2+4x+4) 在x ∈(-∞，-2)上是增函数.例3.讨论函数y=0.8x2-4x+3的单调性。
解：函数定义域为R 。
令u=x 2-4x+3，y=0.8u。
指数函数y=0.8u在(-∞，+∞)上是减函数，u=x 2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴ 函数y=0.8x2-4x+3在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。