§8-5 微分方程应用举例在前面几节，已经举了一些力学、运动学方面应用微分方程的实例，本节将再集中学习几个在其他方面的应用实例，说明微分方程在许多实际领域中都有着广泛的应用．应用微分方程解决实际问题通常按下列步骤进行：(1)建立模型：分析实际问题，建立微分方程，确定初始条件；(2)求解方程：求出所列微分方程的通解，并根据初始条件确定出符合实际情况的特解； (3)解释问题：从微分方程的解，解释、分析实际问题，预计变化趋势．例1 有一个30⨯30⨯12(m 3)的车间，空气中CO 2的容积浓度为0.12%．为降低CO 2的含量，用一台风量为1500(m 3/min )的进风鼓风机通入CO 2浓度为0.04%的新鲜空气，假定通入的新鲜空气与车间内原有空气能很快混合均匀，用另一台风量为1500(m 3/min )的排风鼓风机排出，问两台鼓风机同时开动10min 后，车间中CO 2的容积浓度为多少？解 车间体积为10800m 3．设鼓风机开动t （min ）后，车间空气中CO 2的含量为x =x (t )，那么容积浓度为10800x． 记在t 到t +dt 这段时间内，车间CO 2含量的改变量为dx ，则 dx =该时间段内CO 2通入量-该时间段内CO 2排出量=单位时间进风量⨯进风CO 2的浓度⨯时间-单位时间排风量⨯排风CO 2浓度⨯时间 =1500⨯0.04%⨯dt -1500⨯10800x⨯dt ， 于是有dtdx=1500⨯0.04% -1500⨯10800x即dt dx =365(4.32-x ) 初始条件x (0)=10800⨯0.12%=12.96．方程为可分离变量的方程，其通解为 x (t )=4.32+C t e365-．将初始条件代入上式，得C =8.64．于是在t 时刻车间内空气中CO 2的含量为 x (t )=4.32(1+2t e365-)．所以鼓风机打开10min 后，车间中CO 2浓度为1080047.610800)10(=x =0.06%． 例2 (马尔萨斯人口方程)英国人口学家马尔萨斯在1798年提出了人口指数增长模型：人口的增长率与当时的人口总数成正比．若已知t =t 0时人口总数为x 0，试根据马尔萨斯模型，确定时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系．据我国有关人口统计的资料数据，1990年我国人口总数为11.6亿，在以后的8年中，年人口平均增长率为14.8‰，假定年增长率一直保持不变，试用马尔萨斯方程预测2005年我国的人口总数．解 记t 时的人口总数为x =x (t )，则人口的增长率为dtdx，据人口指数增长模型为dtdx=rx (t ),(r 为比例系数，即马尔萨斯增长指数) (1) 并附初始条件：x (t 0)=x ．方程是可分离变量方程，易得它的通解为x =C e rt ．将初始条件x (t 0)=0x 代入，得C =x 00rt e -．于是时间t 与人口总数x (t )之间的函数关系为x (t )=x 0)(0t t r e -．将t =2005, t 0= 1990, x 0=11.6, r =0.0148代入，可预测出2005年我国的人口总数为 x |t =2005=11.6e 0.0148⨯(2005-1990) ≈14.5(亿)．例3 有一由电阻、电感串接而成的电路,如图8-6所示，其中电源电动势E =E 0sin ωt ,(E 0,ω为常量），电阻R 和电感L 为常量，在t =0时合上开关S ，其时电流为零，求此电路中电流i 与时间t 的函数关系．解 由电学知识，电感L 上的感应电动势为Ldtdi，根据回路电压定律，有 E =R i+Ldtdi ， 即LE i L Rdt di 0=+sin ωt ， (1) 初始条件为i (0)=0．方程是一阶非齐次线性微分方程，它的通解为 i (t )=C t LR e-+2220LR E ω+ (R sin ωt -ωL cos ωt )．将初始条件i (0)=0代入上式，得C =2220LR LE ωω+．于是所求电流为 i (t )=2220L R E ω+(ωL t LR e-+ R sin ωt -ωL cos ωt ), (t ≥0)．例4 轻质油料滴入静水中后会迅速扩散，在水面形成一层圆形油膜．设油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比，滴入油料的体积为V 0，油料在水中扩散过程中的形状近似看做圆柱体，初始t =0时圆柱高度为h 0，求油膜半径与时间t 的关系． 解 设圆柱体油料半径r =r (t )，厚度h =h (t )，则在任何时刻t 有 πr 2(t )⋅h (t )=V 0． (1) 两边对t 求导，得 2πr (t )dt dr h (t )+πr 2(t )dtdh =0， 据油膜半径的增加速度与油膜厚度成正比,)(t kh dtdr=,得图8-6LS图8-72kh 2(t )+)(0t h V πdt dh =0，即 dt dh =-2k 25h V π(t )．分离变量后成为 )(25t h-dh =-2kV πdt ，两边积分得31)(23t h -=k 0V πt +C ，或h (t )=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+C t V k 0(31π．代入(1)，得 r （t ）=31003⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅C t V k V ππ （2） 由初始条件πr 2(0)h (0)=πr 2(0)h 0=V 0，得r (0)=00h V π；代入(2)得C =23)3(10kh ．回代到(2)，最终得油膜半径与时间t 的关系为 r (t )= 312300])(3[h V t kV ππ+．例5 一边长为3m 的立方体形状的木材浮于水面上处于平衡位置，然后向水里按下x 0(m )后松手，物体会在上面上下沉浮振动(图8-8)．已知振动的周期为2s ，水的密度 为1，试求物体的质量及物体沉浮振动的规律．解 设物体的质量为m ，物体在时刻t 相对于平衡位 置的位移为x ，振动规律为x =x (t )．因为x 是相对于平衡位置的位移，物体所受重力已经被抵消，故物体在振动过程中只要考虑浮力的作用．假设x 以向下为正向．由阿基米德原理，当物体位移为x 时所受浮力F (x )与x 的符号相反，大小为：F (x )=-3⨯3⨯x ⨯1000g=-9000x g, (g=9.8m/s 2为重力加速度)． 由牛顿第二定律得 m22dt x d =-9000g x ，即 m 22dtxd +9000g x =0 这是一个二阶常系数齐次方程，满足初始条件x (0)=x 0, x '(0)=0．其特征方程为r 2+m9000=0，特征根为r 1,2=±m g 9000i ，通解为x (t )=C 1cosm g 9000t +C 2sin mg9000t ． 图8-8由周期T =mg 90002π=2，解得π=m g 9000，m =29000πg ≈8937(kg)． 所以x (t )=C 1cos πt +C 2sin πt ． 由初始条件，得C 1=x (0)=x 0，C 2=π)0(x '=0，所以物体的位移规律为x (t )=x 0cos πt ．例6 在例3的电路上，若再串接一个的电容C ，且R 2-CL4<0, (电路中电阻较小或电容较小)．求合上开关后电路上电流的变化的 一般形式．解 以Q (t )表示电路上流动的电量，则由电学知识，电容两 端的电动势为E C =C 1Q ；电感两端的电动势E L = L dt di= L 22dtQ d ； 电阻两端的电动势E R =Ri =RdtdQ．据回路电压定律，有 L 22dt Q d + R dt dQ +C 1Q=E 0sin ωt ，或22dt Q d +L R dt dQ +CL1Q =L E 0sin ωt ， (3) 方程(3)是二阶线性常系数的，对应的特征方程为 r 2+L R r +CL 1=0，特征根r 1 =L 21(-R -C L R 42-), r 2=L21(-R +C L R 42-)．因为R 2-CL4<0，所以(3)对应的齐次方程的通解为 Q *(t )=tL R e2-(C 1sin2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1LR CL -t )． 设Q **(t )为(3)的一个特解，据公式可得 Q **(t )=t r e 1⎰⎰--⋅dt dt e t LE e t r t r r ]sin [2120)(ω． 应用积分公式Cbx b bx a b a e bxdx e axax+-+=⎰)cos sin (sin 22C bx a bx b b a e bxdx eaxax+++=⎰)cos sin (cos 22，可得 Q **(t )=-)(2220r L E +ωtr e 1⎰+-dt t t r e t r )cos sin ([21ωωω =-))((212222r r L E ++ωω[r 2(-r 1sin ωt -ωcos ωt )+ω(ωsin ωt -r 1cos ωt )]图8-7=-))((212222r r L E ++ωω[(ω2-r 1r 2)sin ωt -ω(r 1+r 2)cos ωt ] =-))((2122220r r L E ++ωω[(ω2-CL 1)sin ωt +ωLRcos ωt ] =-])()[(22120L R CL L E ωω+-[(ω2-CL 1)sin ωt +L R ωcos ωt ] 即 Q **(t )=-21])()[(2212LR CLL E ωω+-sin (ωt +ϕ), tan ϕ=CLLR12-ωω． (4)所以方程(3)的通解为 Q (t )=tL R e 2-(C 1sin2)2(1L R CL -t +C 2cos 2)2(1LR CL -t ) -21])()[(2212LR CLL E ωω+-sin (ωt +ϕ)．根据i =dtdQ，即得电路上电流变化的一般形式为 i (t )= tL R e 2-(23)2(1sinLR CL C - +C 4cos 2)2(1L R CL -t )-21])()[(22120L R CL L E ωωω+-cos (ωt +ϕ)，其中ϕ由(3)确定．且21242213)2(12,)2(12LRCL C L RC C L R CL C L RC C -+-=---= 习题8-51. 一曲线过点(1,1)，且曲线上任意点M (x ,y )处的切线与过原点的直线OM 垂直，求此曲线方程．2. 设质量为m 的降落伞从飞机上下落后，所受空气阻力与速度成正比，并设降落伞离开飞 机时(t =0)速度为零．求降落伞下落的速度与时间的函数关系．3. 设火车在平直的轨道上以16m/s 的速度行驶．当司机发现前方约200m 处铁轨上有异物 时，立即以加速度-0.8m/s 2制动(刹车)．试问： (1)自刹车后需经多长时间火车才能停车？ (2)自开始刹车到停车，火车行驶了多少路程？4 太阳能热水器加热水时，在某时间段水温度升高的速度与水温成反比．现设某型号的太 阳能热水器的比例系数为0.1．试求把水从10︒C 加热到80︒C 需要多少时间？ 5. 如图是一个由电阻R ，电容C 及直流电源E 串联而成的电 路．当开关S 闭合时，电路中有电流i 通过，电容器逐渐 充电，电容器的电压U C 逐渐升高，求电容器上电压U C 随 时间t 变化的规律．(提示：由电学知识知，U C =CQ，于是有i =dtdQ，再利用回路定律E =U C +Ri ．)。