o1
解：分别对 o1 轴和 o2 轴运用角动量定理。 设垂直于纸面向里为正向：
o2
无相对滑动：
§3.3 刚体的转动惯量
一、刚体的转动惯量及其计算
定义：
单位( SI )：
1. 刚体由分立的质点组成时：
2. 刚体为质量连续体时：
➢ 转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的形 状、大小、质量分布以及转轴的位置有关。
设第 i 个质元受外力 ，并假定
所受关于O点的外力矩为：
垂直于转轴。 z
也被抵消
y
刚体所受的关于定轴的合力矩：
x
二、刚体定轴转动的角动量
刚体所受的关于O 的角动量：
z
共面
x
y
对整个刚体：
称为刚体对转轴 z 的转动惯量。 为刚体关于转轴 z 的角动量。
关于刚体角动量的补充说明
v r v bsina
[例3-3] 半径为 R1 和 R2、转动惯量为 J1 和 J2 的两个圆
柱体，可绕垂直轴转动，最初大圆柱体的角速度为 0，现
将小圆柱体靠近碰到大圆柱体。由于摩擦，小圆柱体被带 着转动，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿 相反方向转动。求小圆柱的最终角速度多大？
0
J1 , R1
J2 , R2
，铅
直位置时，一水平力 F 作用于距 O为 l′ 处，计算O 轴对棒
的作用力(称轴反力)。
解： 设轴反力为 Nx，Ny。
由转动定律：
O
由质心运动定律： c
得：
讨论： 当 l =2l/3 时， Nx =0 ，此时的打击点称打击中心。 l > 2l/3 时，Nx >0 ，l < 2l/3 时， Nx <0 。
上的角冲量。
[例 3-1] 定滑轮：m， r，J ，物体：m1， m2， 轻绳不能伸 长，无相对滑动。求滑轮转动的角加速度和绳的张力。 解： 由于考虑滑轮的质量，
问题中包括平动和转动。 r
轮不打滑： 联立方程，可解得 T1 ，T2，a，a 。 ➢ 此装置称阿特伍德机——可用于测量重力加速度 g
[例3-2] 均质细棒： m ， l ，对水平轴O：
得到：
设转动过程中J不变， 则有：
刚体定轴转动定律： 刚体在作定轴转动时，刚体的角
加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯 量成反比。
➢ 是关于刚体定轴转动的动力学方程。 (与 F = ma 比较) 推广到 J 可变情形： ——刚体定轴转动的角动量定理
称为在 t0 到 t 时间内作用在刚体
L
r
mv
J
L 2mbv 2mb2 sina
L
m
Lz L sina 2mb 2 sin2 a 2mR 2
结论： m
1、角动量和角速度一般并不在同一个 方向上
a b
Байду номын сангаасb R
2、角动量与角速度在数值上也并不是 以转动惯量为比例系数的正比关系
三、刚体定轴转动定律
由质点系的角动量定理：
对刚体的定轴转动，有： 而且
[例3-4] 求均质细棒( m ，l ) 的转动惯量： (1) 转轴通过中心与棒垂直， (2) 转轴通过棒的一端与棒垂直。
解： (1)
dm
O dx
x
dm
(2)
O
dx
x
➢ 可见，转动惯量因转轴位置而变，故必须指明 是关于某轴的转动惯量。
[例3-5] 求质量 m 半径 R 的 (1) 均质圆环， (2) 均质圆盘 对通过直径的转轴的转动惯量。
第 3 章 刚体力学基础
第 3 章 刚体力学基础
§3.1 刚体运动的描述 §3.2 刚体的定轴转动定理 §3.3 刚体的转动惯量 §3.4 刚体定轴转动的角动量守恒定律 §3.5 刚体定轴转动的功能原理 §3.6 回转仪 进动 §3.7 刚体的平面运动
§3.1 刚体运动的描述
刚体：既考虑物体的质量, 又考虑形状和大小，但忽 略其形变的物体模型。 刚体可看作是质量连续分布的且任意两质量元之间 相对距离保持不变的质点系。
O
[例3-7] 设一薄板，已知对板面内两垂直轴的转动惯量分 别为Jx、Jy，计算板对z 轴的转动惯量Jz。
解：
z
O
y
x 称垂直轴定理 (适用于薄板)。
如圆盘(m、R)对过圆心的垂直轴的转动惯量：
[例3-8] 质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一 根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为 m 的物体。求(1)由 静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。 解：
解：
(1) 圆环：
dm
(2) 圆盘：
o dm
➢ 可见，转动惯量与刚体的质量分布有关。
二、平行轴定理
刚体对任一转轴的转动惯量 J 等于对通过质心的平行 转轴的转动惯量 Jc 加上刚体质量 m 乘以两平行转轴 间距离 d 的平方。
证明：
Jc
J
d co
[例3-6] 计算挂钟摆锤对O轴的转动惯量。
解：
转动平面内：取转心O，参考轴x，
1. 刚体的角位置与角位移 P点：角位置 角位移
2. 刚体的角速度 角加速度
P O
x 转动平面
角速度 的方向： 角加速度的方向： 加速转动时，两者同方向，减速转动时，两者反方向。 3. 线量与角量的关系：
j
r
对于匀角加速转动，则有： 匀加速直线运动：
式中：
是 t =0 时刻的角速度和角位置。
说明：作定轴转动时，刚体内各点具有相同的角量， 但不同位置的质点具有不同的线量。
§3.2 刚体的定轴转动定理
刚体是一个质点系，描述质点系转动的动力学方程：
一、刚体所受的力矩
取惯性坐标系
，
说明 1. 刚体是质点系，刚体所受关于原点O 的力矩
等于合外力矩。
2. 只有垂直转轴的外力分量才产生沿转轴方向的力矩 Mz ，而平行于转轴的外力分量产生的力矩 Mxy 则被轴 承上支承力的力矩所抵消。
一、刚体运动的基本形式
1. 平动
刚体内任一直线在运动过程中始终保持平行。 刚体内各质点在任一时刻具有相同的速度和加速度。
➢ 可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。
2. 转动 刚体上所有质点都绕同一直线(即转轴)作圆周运动。
a. 定轴转动
如：门、 窗的转动等。
b. 定点转动
如：陀螺的转动。
3. 平面运动
刚体上每一质元的运动都平行于某一固定平面。
可以分解为刚体随质心的平移和绕质心垂直于运动平 面的定轴转动。如：车轮滚动。
4. 刚体的一般运动 可以分解为随质心的平移和绕质心的定点转动。
二、定轴转动的描述 角量
研究方法：作定轴转动时，刚体内平行于转轴的直线上 各点具有相同的运动状态(速度和加速度)，因此，只要研 究刚体内某一垂直于转轴的平面(转动平面)上各点的运动， 就可了解整个刚体的运动。