J mR2
a
c
b
J miri2
i
(1) 平行轴定理
J z' :刚体绕任意轴的转动惯量 J z :刚体绕通过质心的轴 L :两轴间垂直距离
J z' J z ML2
m R O
z' z M
L C
平行轴定理证明：
rrii


rri oro
ri
ri2 ri2 ro2 2ri ro

r

F
力对轴的力矩
MZ

r

F
z
Mo

F
O . r


M o z F//
F
(2)力对任意点的力矩，在 通过该点的任一轴上的 投影，等于该力对该轴 的力矩
h r
F
A F
Fn
3.3.2 刚体绕定轴转动定律
对Pi :
Fi

F内i

mi ai
法向：...
dt


d
dt

d 2
dt 2
第二类问题 ------ 积分问题
已知角速度或角加速度及初始条件，求转动运动方程 = (t)
t
0
dt
0
t

0
dt
0
对于刚体绕定轴匀变速转动，角加速度 = 常量，有
0 t

0
0t

1 2
t 2
s O
i=1
z
z
(x,y,z)
O
yO
y
x
i=2
i=3
x i = 3+2+1= 6
当刚体的运动受到某些限制 ——自由度减少
三. 刚体的平动
刚体运动时，若在刚体内所作的任一条直线都始终保持和自
身平行 — 刚体平动
平动的特点: 刚体中各质点的运动情况相同.
rA rB BA
rA rB
vA vB aA aB
A A
A B B
B
O
结论： 刚体的平动可归结为质点运动.
例 一大型回转类“观览圆盘”如图所示。圆盘的半径R=25 m， 供人乘坐的吊箱高度L=2 m。若大圆盘绕水平轴均速转动， 转速为0.1 r/min。
求 吊箱底部A点的轨迹及A点的速度和加速度的大小。

z ω,v
r' P
Oθ
刚体
r
×基点O
参 考 方
向
矢量表示
刚体转动的角速度矢量



k
角加速度矢量



d


k
dt
速度与角速度的矢量关系式
v

dr

ω
r
dt
加速度与角加速度的矢量关系式
a dv d(ω r) dω r ω dr
直径 对称轴
Jx

Jy

1 4
mR
2
JC

1 2
m(
R12

R22 )
球壳
（半径为R）
中心轴
JC

2 3
mR
2
球体
（半径为R）
中心轴
JC

2 5
mR
2
3.3.4 刚体定轴转动定律的应用
M Jβ
例 一轻绳绕在半径 r =20 cm 的飞轮边缘，在绳端施以F=98 N
的拉力，飞轮的转动惯量 J=0.5 kg·m2，飞轮与转轴间的摩擦
dt dt dt
dt

β

r
ω
v
aτ




r
an v

z ω,v
r' P
Oθ
刚体
r
×基点O
参 考 方
向
定轴
三. 刚体定轴转动运动学的两类问题
第一类问题 ------ 微分问题
已知刚体转动运动方程 = (t)，求角速度、角加速度
d
2 02 2 0
例 电动机转子作定轴转动，开始时它的角速度0 = 0，经150s 其转速达到12000r/min，已知转子的角加速度与时间t的平
方成正比。
求 在这段时间内，转子转过的圈数。
解 设 kt 2 （k为比例常量）
d kt 2
dt
分离变量并积分： d t kt2dt
第3章 刚体力学基础
“伦敦眼”（高135米） 坐落在伦敦泰晤士河畔，是伦敦的地标性建筑。
刚体运动随处可见,摩天轮是一种具有水平转轴、能在铅垂平面内回 转的装置。轮盘和座舱的运动各有什么样的特点?如何描述?
§3.1 刚体运动概述
一. 刚体
特殊的质点系，形状和体积不变化 —— 理想化模型
二. 自由度
确定物体的位置所需要的独立坐标数 —— 物体的自由度数
R
r dr
O
圆环的质量为: dm 2πrdr
圆环的转动惯量为


m πR 2
dJ r2dm r2 2πrdr 2πr3dr
则整个圆盘的转动惯量为
J
dJ 2π
R r3dr
0

2π
m πR 2
1 4
R4

1 mR2 2
讨论 质量分布对转动惯量的影响？
v Ax

dxA dt

R sin(t
0)
v Ay

dyA dt

R cos(t
0)
vA
v
2 Ax

v
2 Ay

R

25
300
0.26 m / s
aAx

dv Ax dt

R 2 cos(t
0)
aAy

dv Ay dt

R 2 sin(t
0)
讨论：.............
解 2π 2π π
T 10 60 300
吊箱平动
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) L
x
2 A

( yA

L)2

R2
xA xB R cos(t 0)
yA yB L Rsin(t 0) LaA a源自2 Axa
2 Ay

R 2

25 2
3002

2.7 103
m / s2
§3.2 刚体定轴转动的运动学规律
刚体定轴转动
刚体内各点都绕同一直线(转轴)作圆周运动___刚体转动
转轴固定不动 — 定轴转动
z
刚体的平动和绕定轴转动是刚体的 两种最简单最基本运动
一. 描述 刚体绕定轴转动的角量
求解力若受矩重力分物分析B析下F,T1降取的时如力，图矩滑所：块示MA的1 的正加方F速T向1r度a及绳C 中的张力a1。A
FT 2的力矩：M 2 FT 2r
J l / 2 x2dx 1 ml2
l / 2
12
(2) 以细杆的一端O为坐标原点，取如图所示的坐标
则此时的转动惯量为： J l x2dx l 3 1 ml 2
0
33
例 试求一质量为m，半径为R的均质细圆环对通过其中心且垂
直于环面的转轴的转动惯量。 J r2dm
J miri2
i
对质量离散分布的质点系 J miri2
r
i
对质量连续分布的刚体 J r2dm
r 2dl 质量线分布，为线密度( m )
J

L
L
r 2dS 质量面分布，为面密度( m )
S
S
V
r 2dV 质量体分布，为体密度(
角坐标 f (t) (运动学方程)
角速度
d f '(t)
dt
转动平O面 P(t)

x
角加速度


d
dt

d2
dt 2

f "(t)
二. 定轴转动刚体上各点的速度和加速度
任意点都绕同一轴作圆周运动,
且 ， 都相同
v r'
an r' 2
a

dv dt

r'
不计，绳与滑轮间无相对滑动，(见图)
求 (1) 飞轮的角加速度
(2) 如以重量P =98 N的物体挂在绳 端，试计算飞轮的角加速
rO
解 (1) Fr J


Fr J

98 0.2 0.5

39.2
rad/s 2
TF
(2) mg T ma
Tr J


J
mgr mr2
两者区别


m V
)
例 试求质量为m，长为l 的均质细杆对如下给定轴的转动惯量。
(1) 转轴垂直于杆并通过杆的中点；
(2) 转轴垂直于杆并通过杆的一端。
J r2dm
解 (1) 取如图所示的坐标 在细杆上x 处取线元dx 线元的质量为
O O
x x dx
x'
dm dx m dx
细杆对过中点的垂直转l 轴的转动惯量为
N 1687.5102 268102 r
2π
2π
§3.3 刚体绕定轴转动定律