4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
需经几次变换？ 一次换面, 把一般位置平面变换成新投影面的垂直面； 二次换面，再变换成新投影面的平行面。 AB是水平 c 作 图： 线 a2 ● a b
X V H
a b c
H P1 X1
.
●
a1b1 .
b2●
●
c2
平面的实形
●
c1
X2轴的位置？ 与其平行
P
a
V
A B a
H
a1 b1
b
平行于新的投影面 垂直于新的投影面
b
1. 新投影面必须对空间物体处于最有利的解 题位置。 2. 新投影面必须垂直于某一保留的原投影面， 以构成一个换一次投影面 ⑴ 新投影体系的建立
V

a
a1 .
距离
H X1 P 1
d1 .

b b1 . a2 2d2
c2
c
如何确定d1 c1 点的位置？ 过c1作线平行于x2轴。
P1 P2 X2
例2：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， N 且AB为水平线，求CD及MN的投影。 M
作图：
● c
●
d
空间及投影分析：
当直线AB垂直于投影 面时，MN平行于投影面， 这时它的投影m1n1=MN,且 m1n1⊥c1d1。 A
五、换面法的应用
例1：求点C到直线AB的距离，并求垂足D。 空间及投影分析： 作图:
求C点到直线AB的距离， c 就是求垂线CD的实长。 如下图：当直线AB 垂直于投影面时，CD平 行于投影面，其投影反映 实长。
AD C B abd P X
b a d b a
.
V H
c d a1


a 1

ax
X
a
H

ax1 X1
P X1 —1 先把V面换成平面P1， P1H，得到中间新投影体系: H P1 X2 — 再把H面换成平面P2， P2 P1，得到新投影体系: P2
⑵ 求新投影的作图方法
a

作图规律
a2a1 X2 轴 a2ax2 = aax1

V X H
ax
a2
c
C
P1 c1 a1d1 b1
X1
d b
A B D
c
d
a
正平线！
b H
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b a
V X H a b c H X 1 P1 d
.
d
c
作 图 过 程： ★ 在平面内取一条水平 线AD。 ★ 将AD变换成新投影 面的垂直线。
α
a1d1
● ●
c1
●
d1
反映平面对哪 个投影面的夹角？
H P 1 X1
P2 c1 P1 X 1
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
空间及投影分析： 在投影图中, 两平面的交线垂直于投影面时，则两平面 由几何定理知：两面角为两平面同时与第三平面垂直相交 垂直于该投影面，它们的投影积聚成直线，直线间的夹角为 时所得两交线之间的夹角。 所求。 d a XV H c a c b
a H
H1 ● X1 P1 a1 X1
●
b1 a2b2
X2轴的位置？
与a1b1垂直
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析： 两平面垂直需满足什么条件？ 如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂 直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。 作图方法：
在平面内取一条 一般位置直线变换 V 投影面平行线，经一 成投影面垂直线，需经 次换面后变换成新投 几次变换？ 影面的垂直线，则该 能否只进行一次变换？ a 平面变成新投影面的 垂直面。 X 思考： 若变换H面，需在面 内取什么位置直线？
C N
n ●
●
a XV H a c
m
b
M
D B a1m1b1
●m ●
n
d b
d1
.
●
a1≡b1≡m1
● ●
P1
.
c1
n1
d1
n1
请注意各点的投 H P 1 影如何返回？ X1 求m点是难点。
c1
●
圆半径=MN
例3: 过C点作直线CD与AB相交成60º 角。
空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影
P1 H X1

H
ax
X


ax1
H X1
a
a
a1ax1 = aax 一般规律： 点的新投影和与它有关的原投影的连线，必垂直 于新投影轴。 点的新投影到新投影轴的距离等于被代替的投影 到原投影轴的距离。
aa1 X1
⑶ 求新投影的作图方法
更换V面
a

更换H面
a1 XV H
X1 P 1 H
.
a1
ax1
a
ax

V X H
ax
ax1
.
●
H
a
P1 X1
a
作图规律： 由点的不变投影向新投影轴作垂线， 并在垂线上量取一段距离，使这段距离等 于被代替的投影到原投影轴的距离。
⒉ 更换两次投影面
⑴ 新投影体系的建立
X2
V
P2
a2
按次序更换 P1


ax2
a

A


第三章 投影变换－换面法
• 本章介绍投影变换，仅介绍变换投影面 法，它是解决空间几何元素定位和度量 的一种简单有效的方法。 • 图解问题的难易程度不仅取决于问题本 身的复杂程度，而且在很大程度上．还 取决于几何元素与投影面以及投射方向 的相对位置。
一般位置元素和特殊位置元素求解方法比较
投影变换基本方法： 1、换面法 2、旋转法
换面法基本原理
换面法
一、问题的提出
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？ 解决方法：更换投影面。 换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某 一新投影面（辅助投影面）代替原有投影 面，使物体相对新的投影面处于解题所需 要的有利位置，然后将物体向新投影面进 行投射。
二、新投影面的选择原则
●
b a1 d1
● ●
θ c1
.
●
b1
.
d
a2≡ b2
●
θ
●
●
d2
c2
小 结

本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。 二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。 三、点的变换规律是换面法的作图基础，四个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。
X1 H
P1
.
a
H
b
a1
●

b1
●
换H面行吗？ 不行！
新投影轴的位置？
与ab平行。
2. 把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析： 一次换面把直线变成投影面平行线；
二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
V H
V
b P2
a2b2

ax2 b1
P1
a b a
.
a
b X
B A
X
a1
换面法的四个基本问题：
1. 把一般位置直线变成投影面平行线 变换一次投影面 2. 把一般位置直线变成投影面垂直线 变换两次投影面 3. 把一般位置平面变成投影面垂直面 变换一次投影面 需先在面内作一条投影面平行线
4. 把一般位置平面变成投影面平行面 变换两次投影面
四、解题时一般要注意下面几个问题： ⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。 ⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。 ⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。
a ax1 H X1 P1
.
ax2 .
a1
P2 P1 X 2
四、换面法的四个基本问题 1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析： 用P1面代替V面，在P1/H投影体系中，AB//P1。 b 作图： a P1 a a1
V A
b
B
X
V
b1
H
b a
的夹角才反映实大（60°），因此需将AB与C点所确定的 平面变换成投影面平行面。 ● 作 图： c 几个解？ 两个解！ a ● 2 a d b
X
V H
a
●
d● c
b
b2●
. .
d2
●
60°
●
D点的投影 如何返回？ c2 如何解？
a1b1
● ●
解法相同！ 思考： 已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上， 求等边三角形的投影。
a



A
a 1

V
P1
X
ax ax1
H P1 X1


H
ax
X


ax1
H X1
a
a
P1 V 新投影体系 X1 — 旧投影体系 X — H H A点的两个投影：a，a1 A点的两个投影：a， a