b 影m1n1=MN, 且m1n1⊥c1d1。
d b
.
H X1V1
A
d1 ●
a1≡b●1≡m1
M CN
BD a1●m1b
.
●n1
c1 V1
n1
1
d1
c1●
m1n1⊥c1d1
小结
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投影面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
3. 把一般位置平面变换成投影面垂直面
空间分析：如 的垂果直把两线平平，面面那内垂么的直该一需平条满面直足则线什变变么换换条成成件新新？投投影影面面
的垂直面。
作图方法：
一在般平位面置内直取线一变条换成投影面垂直线c， 需经几V1 次变换？
能投否影只面进平行一线次，变经换一？ V
次换面后变换成新投
d
空间及投影分析 交叉二直线间的距离即是它们之间公 垂线的实长。若两交叉直线之一变换成新 投影面垂直线时，公垂线必为该投影面的 平行线，反映实长，且与另一直线投影垂 直，据此可确定公垂线位置。
例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。
m b
a
d n
X
V H
c m
b
ac
nd
B M
A m1 b1 H1 a1
如何求出两平行直线间距离？ 4.逆变换返回，求出公垂线
的投影；
例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度为MN，且AB 为水平线，求CD及MN的投影。 M N
作图：
n● c●
a ●m
XVH
a
●m
●
n c
请注意各点的投 影如何返回？
求m点是难点。
●d
空间及投影分析
当直线AB垂直于投影面时
MN平行于投影面，这时它的投
b
c
d.
b
H
α
●
●
●
X1 V1 b'1 a'1d'1 c'1
4. 把一般位置平面变换成投影面平行面
空间分析：
一次变换能否实现？
一 二次次换换面 面，, 把把投一影般面位垂置直平面面为变变什换换么成成？投投影影面面垂平直行面面；。
作图方法：
经一次变换把△ABC
变换成辅助投影面的垂直
H1
面后，再选取一个新投影
空间由及几投何影定分理析知：：在两投面影角图为中两, 两平平面同面时的与交第线垂 三直平于面投垂影直面相时交，时则所两得平两面交垂线直之于间该的投夹影角面。，它们 的投影积聚成直线，直线间的夹角为所求。
d
b
a
X
V H
c a
θ
dc b
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
作图：
1.将交线AB换成V1面的平行线;
换H面行吗？ 不行！
与ab平行。
2.把一般位置直线变换成投影面垂直线
空间分析：一次换面把直线变成投影面平行线； 二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。
X2
作图：
b
a1b1
V
b H1
a
B
V1
b'1
A a'1
b
X
a
H
X1
a
XV H
a
H
X1V1a'1●
b
●.
b'1
a1b1
X2轴的位置？
与a'1b'1垂直
C c1
影面的垂直线，则该 a b
平面变成新投影面的
A
垂直面。
X
D
B
c
a1d1 b1
a
d
若变换H面，需在面内
b
取什么位置直线？正平线！ H
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
作 图：
c
a
d
1.在平面内取一条水平线AD。
2.将AD变换成新投影面的
X
V H
垂直线。
a
反映平面对哪个 投影面的夹角？
2.将交线AB换成H1面的垂直线;
3.角∠c1a1 (b1)d1即为所求。
θ
d
b
a
a'1 ●
d● '1
X
V H
c a
c●'1
●b'1
.
dc
.
b
a1≡ b1 ● θ
c1●
●d1
例5: 求交叉二直线AB、CD 之间的距离及公垂线的投影。
a
X
V H
c
ac
b d
b d
B M
A m1 b1 H1 a1
C
N
D c1（d1） （n1）
c'1
例1：试求过点点AA到作已直知线直与线已BC知距直离线。BC垂直相交。
讨论：
d c
有否其它变换方法？ 将点A及直线BC看成同 一平面，将平面ABC换成新 投影面平行面，则在该面上
bb
XX HVHV X1VH1
bb
d
aa aa
作出点A到BC距离。
b'1
cc
此方法可解决同一平面
内的定位、度量问题，如平 行两直线距离、夹角，作角 平分线等。
a'1 d'1
c'1
例2: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
DB
A
C
db
a 60° c
c●
空间及投影分析 只有AB 与CD都平 行于投影面即AB与C点
a
b 构成的平面平行于投影
X
V H
a
面时，其投影的夹角才
反映真实大小（60°）
b 因此, 需将AB与C点所
●
c
确定的平面变换成投影
面平行面。
例2: 过C点作直线CD与AB相交成60º角。
于新投影轴。aa1 X1
②点的新投影到新投影轴的距离等于被代换
投影到旧投影轴的距离。 a1ax1 = aax
更换V面
a
V XH
ax
a
更换H面
ax1
● a'1
.
XV
H V1
H
X1
作图步骤
XV1H1
a1
. ax1
a
ax
a
① 由点的不变投影向新投影轴作垂线，
② 在垂线上量取一段距离，使这段距离等于 被代替的投影到原投影轴的距离。
HX1V1
●
c'1
如H1 何选择X2轴？
V1 X2
D点的投影如何返回？
例3：求点K到平面P（΢ABCD）的距离。
P L
K
d'
c'
l1' V1 k1'
V X
a'
Ha
p
b' d
k'
空间及投影分析 若平面P是投影面垂 直面，则垂线KL就是该 投影面的平行线，距离 可直接求出。
k
b
c
例3：求点K到平面P（΢ABCD）的距离。
作业：
T4-1,2,3,4,5,6,7,8
P L
K
水平线
l1'
V1 k1'
作图：
V a' X
Ha
1.将P面换成V1面的垂直面P1′;
2.作出K点在V1面上的投影K1′; 3.过 K1′点向P1面作垂线KL
即为所求距离。
4.作出垂线KL的投影。
请注意L点的投影如何返回？
d'
c'
l'
p
b' d
k'
与X1轴平行
k
l
b
c
k1'
p'1 l1'
例4：求平面ABC和ABD的两面角。
C
N
D c1（d1） （n1）
XH
1 V1 c'1
a'1
n'1d'1 m'1 b'1
作图：
1.将直线CD经过两次换面变 n1c1 d1 成H1面的垂直线，得n1;
讨论：
a1
m1b1
2.作另一直线AB在H1面上的 投影a1b1;
3.过n1作a1b1垂线m1n1，即为
如何求出点到直线的距离，
公垂线实长；
a1 ax2 .
ห้องสมุดไป่ตู้
a'1
V1
H1 X2
四、换面法的四个基本作图问题
1. 把一般位置直线变换成投影面平行线
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1/H投影体系中，AB//V1。
作图：
b
a V
b
V1
A
a'1
B
b'1
a
a
XV H
b
a
.
H
X1 V1
●
a'1
●
b'1
Hb
X1
新投影轴的位置？
例1：试过点A作直线与已知直线BC垂直相交。
空间及投影分析： 当直线BC平行于某投
c d
影面时，由直角投影定理可
b
a
知, 与BC垂直的直线在该投
XV H
影面上的投影反映其垂直关 系。
X1VH1 b
d
a
作图:
b'1
c
1.将直线BC转换成V1面的平行线;