§2-2 平面几何不变体系的组成规律
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰两两相连， 其中OⅠ,Ⅱ和OⅡ,Ⅲ 是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应∞线上的两个不同的 点。铰OⅠ,Ⅲ对应有限点。因有限点不在∞线上，则三铰不共 线，体系为几何不变，且无多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ之间的三个铰都在无穷远瞬点。 由于各∞点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-2 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系 以刚片ⅠⅡ Ⅲ为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部
为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个 自由度。
（2）分析图(b)中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
瞬变体系（三链杆交于同一点） 图a：不符合“三链杆不共点”，为瞬变体系 图b：三链杆彼此平行，（相交于无限远一点，）为瞬变
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
五种基本组成规律
三种基本装配格式
（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定 在基本刚片（或基础）上，称为简单装配格式。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
多次应用上述基本组成规律或基本装配格式，可以组成 各式各样的几何不变，且无多余约束的体系。
装配过程有两种： （1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩 大的基本刚片，直至形成整个体系。如图：
从基础出发，多次应用简单装配格式 组成，用五对链杆(1,2) (3,4) (5,6) (7,8) (9,10)依次固定节点A、B、C、D、E, 其中每一对链杆都不共线，因此整个 体系为无多余约束的几何不变体系。
瞬变的。
§2-2 平三铰拱 的几何不变性。
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰OⅠ,Ⅱ、OⅡ,Ⅲ、OⅠ,Ⅲ两两相 连，其中 OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆 1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何 不变，且无多余约束。
判断体系是否可变，确定S 判断体系中有无多余约束，确定n
对杆件结构进行几何构造分析
结构应是几何不变体系，S=0 结构分为静定（n=0）
和超静定（n＞0）
§2-6 小结
2 几何构造分析中采用的方法 经典方法：
主要作法应用组成规律，辅助作法求体系的计算自由度数W。 计算机方法：
利用求解器分析 3 关于三角形规律的运用问题 三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律 学会搭积木的方法：整个体系是搭起来的 装配方式有：从内部刚片出发或从地基出发进行装配 进行等效变换：瞬铰替代两个链杆，直线链杆替代曲线链杆等
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-6 试计算图示体系的W。
两个体系 j=6，b=9， W=2j-b=2×6-9=3 图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
S-3=0 n=0 图(b)是一个内部瞬变且有多余约束的体系
S-3= n＞0
§2-6 小结
1 几何构造分析的两个主要问题 对杆件体系进行几何构造分析
自由度算法二（把体系看作由许多结点受链杆的约束组成）
j—体系中结点的个数 结点自由度个数总和：2j
b—单链杆根数
体系约束总数：
b
体系计算自由度： W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的 若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则为几何可变 若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束
一个支杆相当于一个约束 一个铰相当于两个约束 一个刚结相当于三个约束
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
图(a)两个刚片ⅠⅡ 间的结合为单结合。
图(b)三个刚片间的结合相 当于两个单结合，n个刚片间的 结合相当于（n-1）个单结合。
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
单链杆：连接两点的链杆 相当于一个约束
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。
几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。
§2-1 几何构造分析的几个概念
2. 自由度
平面内一点有两种独立运动方式， 即一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立运动方式， 即一个刚片在平面内有三个自由度。
3. 两个刚片之间的连接 方式
规律2 一个刚片与一个点用 规律3 两个刚片用一个
两根链杆相连，且三个铰不在一 铰和一根链杆相连，且三
直线上，则组成几何不变的整体， 个铰不在一直线上，则组
且没有多余约束。
成几何不变的整体，且没
有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
4. 三个刚片之间的连接方式 规律4 三个刚片用三个铰两两相连， 且三个铰不在一直线上，则组成几何不 变的整体，且没有多余约束。如图(a)。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
从基础出发，多次应用联合装配格式组成，先用铰A和 链杆1将AB梁固定于基础，形成扩大的基本刚片，再用铰 B和链杆2将BC梁固定于扩大后的基本刚片上，最后，用 铰C和链杆3固定CD。在每个装配格式所用的约束中，链 杆和铰都不共线，因此，整个体系为无多余约束的几何 不变体系。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
总结
（1）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。 （2）要注意约束的等效替换。 （3）体系的装配方式可以不同。
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
体系是否几何可变？体系自由度的个数S是多少？ 体系有无多余约束？体系多余约束的个数n是多少？ 引进计算自由度W概念
体系是由部件加约束组成： a—各部件的自由度数的总和 c—全部约束中的非多余约束数
铰结三角形规律：如果三个铰不共线，则一个铰结三角形的 形状是不变的，而且没有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用。因此，铰结 三角形规律中的每个铰都可以用两根链杆替换。 规律5：两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则 组成几何不变的整体，且没有多余约束。 三链杆不交于同一点；三铰不在一直线上； 三铰不共线；三链杆不共点。
图（a）A点有两个自由 度，链杆1、2把A点与基 础相连，A点被固定，1、 2均为非多余约束；
图（b）如用三根链杆把A点与基础相连，仍减少两个自由度， 肯定有一根链杆是多余约束
只有非多余约束才对体系的自由度有影响，而多余约束对体系 的自由度没有影响。
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：1.图c从微小运动的角度看，这是一个可变体系； 2.经微小位移后又成为几何不变体系—瞬变体系； 3.图C中， 在任一瞬变体系中必然存在多余约束。 瞬变体系：可产生微小位移
两根平行的链杆把刚片I与基础相连 接， 则两根链杆的交点在无穷远处。两 根链杆所起的约束作用相当于无穷远处 的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
可变体系 常变体系：可发生大位移
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰
O为两根链杆轴线的交点，刚片I 可发生以O为中心的微小转动， O点 称为瞬时转动中心。
两根链杆所起的约束作用相当于在链 杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个 铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰
例 2-4 试计算图示体系的W。
方法一： m=7，h=9，b=3， g=0 W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0
方法二： j=7，b=14 W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b) m=1，h=0，b=4， g=3 W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）= -10 体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10 具有10个多余约束的几何不变体系
复链杆：连接n个点的链杆 相当于2n-3个单链杆
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
自由度算法一（把体系看作由许多刚片受铰结、刚结和链杆的约束组成。）
m—体系中刚片的个数 刚片自由度个数总和：3m
g—单刚结个数
h—单铰结个数
体系约束总数： 3g+2h+b
b—单链杆根数
体系计算自由度：W=3m-(3g+2h+b）
§2-6 小结
4 关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
对象的自由度数小于约束数 体系有多余约束 如体系为几何可变，则为超静定结构
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（2）固定一个刚片的装配格式：用不共线的铰和一根链杆，或用 不共点的三根链杆将一个刚片II固定在基本刚片I上，称为联 合装配格式。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（3）固定两个刚片的装配格式：用不共线的三个铰将两个刚片 Ⅱ、Ⅲ固定在基本刚片I上，称为复合装配格式。如图：
1.三个点之间的连接方式
&主要课题：无多余约束的几 何不变体系的组成规律，
只讨论：平面杆件体系最基本 的组成规律—铰结三角形规律
规律1：不共线的三个点用 三个链杆两两相连，则所组成 的铰结三角形体系是一个几何 不变的整体，且没有多余约束。