W=3m-（3g+2h+b）=3×1-（3×3+2×0+4）=-10
体系几何不变，S=0
n=S-W=0-（-10）=10
具有10个多余约束的几何不变体系
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-6 试计算图示体系的W。
两个体系
j=6，b=9， W=2j-b=2×6-
9=3
图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系
自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数
§2-1 几何构造分析的几个概念
3. 约束
一个支杆相当于一个约束，如图(a) 一个铰相当于两个约束，如图(b) 一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)
§2-1 几何构造分析的几个概念
4. 多余约 束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由
度并不减少，此约束称为多余约束。
自由度算法二（体系由结点加链杆组成）
j—体系中结点的个数 b—单链杆根数
结点自由度个数总和：2j
体系约束总数：
b
体系计算自由度：
W=2j-b
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
若W＞0，则S ＞0，体系是几何可变的 若W=0， 则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则
为几何可变
若W＜0，则n＞0， 体系有多余约束
§2-6 小结
4 关于计算自由度数W
W的数值 W＞0 W=0
W＜0
几何构造特性 对象的自由度数大于约束数 体系为几何可变，不能用作结构 对象的自由度数等于约束数 如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构 如体系为几何可变，则有多余约束
对象的自由度数小于约束数 体系有多余约束 如体系为几何可变，则为超静定结构
几何不变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。
几何可变体系—在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的。
§2-1 几何构造分析的几个概念
2. 自由度
平面内一点有两种独立运动方式， 即一点在平面内有两个自由度。
一个刚片在平面内有三种独立运动方式， 即一个刚片在平面内有三个自由度。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
装配过程有两种：
（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某
个扩
个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一
大的基本刚片，直至形成整个体系。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
（2）从内部刚片出发进行装配：在体系内部选取一个或几个
进行
刚片作为基本刚片，将周围的部件按基本装配格式
S-3=0 n=0
图(b)是一个内部瞬变且有多余约束的体系
S-3= n＞0
§2-6 小结
1 几何构造分析的两个主要问题 对杆件体系进行几何构造分析
判断体系是否可变，确定S 判断体系中有无多余约束，确定n
对杆件结构进行几何构造分析
结构应是几何不变体系，S=0 结构分为静定（n=0）
和超静定（n＞0）
规律3
两个刚片用一
个铰和一根链杆相连，且
三个铰不在一直线上，则
组成几何不变的整体，且
没有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
4. 三个刚片之间的连接方式
规律4 线
三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直
上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。如图(a)。
两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，如图(b)。
§2-3 平面杆件体系的计算自由度
S—体系自由度的个数 n—体系多余约束的个数 W—计算自由度
体系是由部件加约束组成：
a—各部件的自由度数的总和 c—全部约束中的非多余约束数 d—全部约束的总数
S=a-c S-W=n
W=a-d
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
S≥0
n≥0
S≥W
n≥-W
W 是自由度数S 的下限，（–W）是多余约束数 n的下限
线，体系为几何不变，且无多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ之间的三个铰都在无穷远瞬点。 由于各∞点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
总结
（1）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。 （2）要注意约束的等效替换。 （3）体系的装配方式可以不同。
基本
装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。将扩大的
刚片与地基装配起来形成整个体系。如图：
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
例2-1 试分析图示体系的几何构造。
解 （1）分析图(a)中的体系
三角形ADE—刚片I，三角形AFG—刚片Ⅱ，基础—刚片 Ⅲ，A、B、C、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变
例 2-4 试计算图示体系的W。
方法一：
m=7，h=9，b=3， g=0 W=3m-2h-b=3×7-2×9-3=0
方法二：
j=7，b=14 W=2j-b=2×7-14=0
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
例 2-5 试计算图示体系的W。
将图(a)中全部支座去掉，在G处切开，如图(b)
m=1，h=0，b=4， g=3
(b)
1
2
3
图b属几何 B
体系。
1.2.10
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
1.2.11
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
7.图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何 B 的
体系。
A.不变且无多余约束
B.瞬变
C.常变
D. 不变，有多余约束
8.图示体系为：—A ———
A.几何不变无多余约束 C.几何常变
两根链杆所起的约束作用相当于 在链杆交点处的一个铰所起的约束作用， 这个铰称为瞬铰。
§2-1 几何构造分析的几个概念
7. 无穷远处的瞬铰
两根平行的链杆把刚片I与基 础相连接， 则两根链杆的交点在无穷 远处。两根链杆所起的约束作用相当于 无穷远处的瞬铰所起的作用。
无穷远处的含义 （1）每一个方向有一个∞点； （2）不同方向有不同的∞点； （3） 各∞点都在同一直线上，此直线称为∞线； （4）各有限点都不在线∞上。
连，其中 OⅠ,Ⅱ为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆
1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何
不变，且无多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规律
OⅡ,Ⅲ
刚片ⅠⅡ与基础Ⅲ用三个铰两两相连， 其中OⅠ,Ⅱ和
是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应∞线上的两个不同的
点。铰OⅠ,Ⅲ对应有限点。因有限点不在∞线上，则三铰不共
╳
3. 图示体系作几何分析时，可把A点看作杆1、 ╳
杆2形成的瞬铰。 ╳
4. 图示体系是几何不变体系。
1
2
A
题3图
题4图
二、选择填空
1. 体系计算自由度W≤0是保证体系几何不变的 A
条件。A.必要 B.充分 C.非必要 D. 必要和充分
2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系
是D
。
A.几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体
看 D.从区分静定与超静定两类问题的角度看
5.下列各个简图分别有几个多余约束： 图a 个0多余约束 图b 个多余1 约束 图c 个3多余约束 图d 个多余2 约束
(a)
(b)
(c)
(d)
6.图a 属几何 A
体系。
A.不变，无多余约束 C.可变，无多余约束
(a)
B.不变，有多余约束 D.可变，有多余约束
单链杆：连接两点的链杆
约束
相当于一个
复链杆：连接n个点的链杆
个单链杆
相当于2n-3
§2-3 平面杆件不变体系的计算自由度
自由度算法一（体系由刚片加约束组成）
m—体系中刚片的个数 刚片自由度个数总和：3m
g—单刚结个数
体系约束总数： 3g+2h+b
h—单铰结个数
体系计算自由度：
b—单链杆根数
W=3m-（3g+2h+b）
§2-2 平面几何不变体系的组成规 律
1. 三个点之间的连接方式
规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连， 则所组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没 有多余约束。
§2-2 平面几何不变体系的组成规
律
2. 一个点与一个刚
3. 两个刚片之间的连
片之间的连接方式
接方式
规律2 一个刚片与 一个点用两根链杆相连，且三个 铰不在一直线上，则组成几何不 变的整体，且没有多余约束。
§2-6 小结
2 几何构造分析中采用的方法
经典方法： 主要作法应用组成规律，辅助作法求体系的计算自由度数
W。
计算机方法： 利用求解器分
析 3 关于三角形规律的运用问题
三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律 学会搭积木的方法：整个体系是搭起来的 装配方式有：从内部刚片出发或从地基出发进行装配 进行等效变换：瞬铰替代两个链杆，直线链杆替代曲线链杆等
有一根链杆是多余约束
§2-1 几何构造分析的几个概念
5. 瞬变体系
特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系； 经微小位移后又成为几何不变体系； 在任一瞬变体系中必然存在多余约束。
瞬变体系：可产生微小位移 可变体系
常变体系：可发生大位移
§2-1 几何构造分析的几个概念
6. 瞬铰
O为两根链杆轴线的交点， 刚片I可发生以O为中心的微小转动， O点称为瞬时转动中心。
（a）内部没有多余约束的刚片 （b）内部有一个多余约束的刚片 （c）内部有两个多余约束的刚片 （d）内部有三个多余约束的刚片