椭圆典型例题一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。

解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3.所以椭圆的标准方程是y 24＋x 23＝1.2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52－1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 224＝1.二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。

例：1. 椭圆的一个顶点为()02，A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11422=+y x ； （2）当()02，A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为：116422=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。

例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 24＝1有相同焦点的椭圆的标准方程．解：因为c 2＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9a 2＋4a 2－5＝1，所以a 2＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 210＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。

例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程．解：由题意，设椭圆方程为1222=+y ax ，由⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+101222y ax y x ，得()021222=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2111a x y M M +=-=， 4112===a x y k M M OM Θ，∴42=a ，∴1422=+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。

例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率．解：31222⨯⨯=c a c Θ ∴223a c =，∴3331-=e ．例2 已知椭圆19822=++y k x 的离心率21=e ，求k 的值． 解：当椭圆的焦点在x 轴上时，82+=k a ，92=b ，得12-=k c ．由21=e ，得4=k ． 当椭圆的焦点在y 轴上时，92=a ，82+=k b ，得k c -=12．由21=e ，得4191=-k ，即45-=k ． ∴满足条件的4=k 或45-=k ．六、由椭圆内的三角形周长、面积有关的问题例：1.若△ABC 的两个顶点坐标A (－4,0)，B (4,0)，△ABC 的周长为18，求顶点C 的轨迹方程。

解：顶点C 到两个定点A ，B 的距离之和为定值10，且大于两定点间的距离，因此顶点C 的轨迹为椭圆，并且2a ＝10，所以a ＝5,2c ＝8，所以c ＝4，所以b 2＝a 2－c 2＝9，故顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1.又A 、B 、C 三点构成三角形，所以y ≠0.所以顶点C 的轨迹方程为x 225＋y 29＝1(y ≠0)答案：x 225＋y 29＝1(y ≠0)2．已知椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 225＝1(a >5)，它的两焦点分别是F 1，F 2，且F 1F 2＝8，弦AB 过点F 1，求△ABF 2的周长．4a ＝441.3．设F 1、F 2是椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 是椭圆上的点，且PF 1∶PF 2＝2∶1，求△PF 1F 2的面积．△PF 1F 2的面积为12PF 1·PF 2＝12×2×4＝4.七、直线与椭圆的位置问题例 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得()()0232122212222=+-+--+k k x k k x k ．由韦达定理得22212122k kk x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ．解法二：设过⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得①－②得0222212221=-+-y y x x ． ⑤ 将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-． 所求直线方程为0342=-+y x ．八、椭圆中的最值问题例 椭圆1121622=+y x 的右焦点为F ，过点()31，A ，点M 在椭圆上，当MF AM 2+为最小值时，求点M 的坐标．解：由已知：4=a ，2=c ．所以21=e ，右准线8=x l ：．过A 作l AQ ⊥，垂足为Q ，交椭圆于M ，故MF MQ 2=．显然MF AM 2+的最小值为AQ ，即M 为所求点，因此3=M y ，且M 在椭圆上．故32=M x ．所以()332，M ．双曲线典型例题一、根据方程的特点判断圆锥曲线的类型。

例1 讨论192522=-+-ky k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 解：（1）当9<k 时，025>-k ，09>-k ，所给方程表示椭圆，此时k a -=252，k b -=92，16222=-=b a c ，这些椭圆有共同的焦点（－4，0），（4，0）．（2）当259<<k 时，025>-k ，09<-k ，所给方程表示双曲线，此时，k a -=252，k b -=92，16222=+=b a c ，这些双曲线也有共同的焦点（－4，0），）（4，0）．（3）25<k ，9=k ，25=k 时，所给方程没有轨迹． 二、根据已知条件，求双曲线的标准方程。

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程．（1）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛4153，P ，⎪⎭⎫⎝⎛-5316，Q 且焦点在坐标轴上．（2）6=c ，经过点（－5，2），焦点在x 轴上．（3）与双曲线141622=-y x 有相同焦点，且经过点()223， 解：（1）设双曲线方程为122=+ny m x ∵ P 、Q 两点在双曲线上， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+12592561162259nm n m 解得⎩⎨⎧=-=916n m∴所求双曲线方程为191622=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ，∴设所求双曲线方程为：1622=--λλy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴16425=--λλ∴5=λ或30=λ（舍去）∴所求双曲线方程是1522=-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉．（3）设所求双曲线方程为：()160141622<<=+--λλλy x ∵双曲线过点()223，，∴1441618=++-λλ∴4=λ或14-=λ（舍）∴所求双曲线方程为181222=-y x 三、求与双曲线有关的角度问题。

例 3 已知双曲线116922=-y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F∠的大小． 解：∵点P 在双曲线的左支上 ∴621=-PF PF∴362212221=-+PF PF PF PF ∴1002221=+PF PF∵()100441222221=+==b a c F F∴ο9021=∠PF F（2）题目的“点P 在双曲线的左支上”这个条件非常关键，应引起我们的重视，若将这一条件改为“点P 在双曲线上”结论如何改变呢请读者试探索．四、求与双曲线有关的三角形的面积问题。

例 4 已知1F 、2F 是双曲线1422=-y x 的两个焦点，点P 在双曲线上且满足ο9021=∠PF F ，求21PF F ∆的面积．分析：利用双曲线的定义及21PF F ∆中的勾股定理可求21PF F ∆的面积．解：∵P 为双曲线1422=-y x 上的一个点且1F 、2F 为焦点． ∴4221==-a PF PF ,52221==c F F∵ο9021=∠PF F∴在21F PF Rt ∆中，202212221==+F F PF PF∵()162212221221=-+=-PF PF PF PF PF PF∴1622021=-PF PF∴221=⋅PF PF ∴1212121=⋅=∆PF PF S PF F 五、根据双曲线的定义求其标准方程。

例5 已知两点()051，-F 、()052，F ，求与它们的距离差的绝对值是6的点的轨迹． 解：根据双曲线定义，可知所求点的轨迹是双曲线．∵5=c ，3=a∴16435222222==-=-=a c b∴所求方程116922=-y x 为动点的轨迹方程，且轨迹是双曲线． 例 P 是双曲线1366422=-y x 上一点，1F 、2F 是双曲线的两个焦点，且171=PF ，求2PF 的值． 解：在双曲线1366422=-y x 中，8=a ，6=b ，故10=c ． 由P 是双曲线上一点，得1621=-PF PF ．∴12=PF 或332=PF ．又22=-≥a c PF ，得332=PF ． 六、求与圆有关的双曲线方程。

例6 求下列动圆圆心M 的轨迹方程：（1）与⊙()2222=++y x C ：内切，且过点()02，A （2）与⊙()11221=-+y x C ：和⊙()41222=++y x C ：都外切．（3）与⊙()93221=++y x C ：外切，且与⊙()13222=+-y x C ：内切． 解：设动圆M 的半径为r（1）∵⊙1C 与⊙M 内切，点A 在⊙C 外 ∴2-=r MC ，r MA =，2=-MC MA∴点M 的轨迹是以C 、A 为焦点的双曲线的左支，且有：22=a ，2=c ，27222=-=a c b ∴双曲线方程为()2172222-≤=-x y x （2）∵⊙M 与⊙1C 、⊙2C 都外切 ∴11+=r MC ，22+=r MC ，∴点M 的轨迹是以2C 、1C 为焦点的双曲线的上支，且有：21=a ，1=c ，43222=-=a c b ∴所求的双曲线的方程为：（3）∵⊙M 与⊙1C 外切，且与⊙2C 内切∴31+=r MC ，12-=r MC ，421=-MC MC ∴点M 的轨迹是以1C 、2C 为焦点的双曲线的右支，且有：2=a ，3=c ，5222=-=a c b∴所求双曲线方程为：抛物线典型例题一、求抛物线的标准方程。