(川)设P 是该椭圆上的一个动点，求PBF 1的周长的最大值.椭圆与双曲线常见题型归纳曲线方程+直线与圆锥曲线位置关系”的综合型试题的分类求解1.向量综合型例1.在直角坐标系xOy 中，点P 到两点(0, .3),(0, .3)的距离之和为4,设点P 的轨迹为C ,直线uuu uuu(I)写出C 的方程；(U)若OA OB ，求k 的值2例2•设F i 、F 2分别是椭圆— y 21的左、右焦点•(I)若P 是该椭圆上的一个动点,4的最大值和最小值；(U)设过定点M(0,2)的直线I 与椭圆交于不同的两点 A 、B ，且/ AOB 为锐角 (其中O 为坐标原点)，求直线I 的斜率k 的取值范围2例3.设F 1、F 2分别是椭圆— y 2 1的左、右焦点，B(0, 1) . (I)若P 是该椭圆上的一个动点,4UJU UUUy kx 1与C 交于A, B 两点。
UULT UULU 求 PF PF求PF1 PF2的最大值和最小值；(U )若C为椭圆上异于B 一点，且BF1 CF1，求的值；(川)设P是该椭圆上的一个动点，求PBF1的周长的最大值.例4.已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(，3,0)(1)求双曲线C 的方程；(2)若直线I : y kx 2与双曲线C 恒有两个不同的交点 A 和B ,且OA OB 2(其中O 为原点)，求k 的取值范围。
22広例5•已知椭圆 笃 爲(a >b >0)的离心率e —，过点A (0, - b )和B (a , 0)的直线与原点 a b 3一的距离为 —.(1)求椭圆的方程.(2)已知定点E(-1 , 0),若直线y = kx + 2 (k 工0)与椭圆交于2C 、D 两点•问：是否存在k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点？请说明理由.2•“中点弦型”例7.已知双曲线的中心在原点，焦点在 x 轴上，离心率e , 3，焦距为2.3(I )求该双曲线方程.(II )是否定存在过点P (1 , 1)的直线I 与该双曲线交于A , B 两点，且点 P 是线段AB 的中点？若存在，请求出直线I 的方程，若不存在，说明理由. 例8•已知椭圆的中心在原点，焦点为 F i （0,2冋,F 2 （0, 2罷）,且离心率e 亠。
3（I ）求椭圆的方程；（II ）直线I （与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点 A 、B ,且线段AB 中点 的横坐标为-，求直线I 倾斜角的取值范围。
22 2例6.已知椭圆—y 4 31 ,试确定m 的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线y 4x m 对称。
3•“弦长型”2例9 •直线y = kx + b与椭圆寸1交于A、B两点，记△ AOB勺面积为S.4（I）求在k = 0, 0v b v 1的条件下，S的最大值；（U ）当| AB|= 2, S= 1时，求直线AB的方程.yur r ir r 2例10.已知向量m i = （0，x ），n i= （1，1），m2 = （x，0），n2= （y，1）（其中x，y 是实数），又设向量m= m1+ .、2 n2，n=m2 — .、2 n1，且m〃n，点P （x，y）的轨迹为曲线 C. （I）求曲线 C 的方程；（U）设直线I :y kx 1与曲线C交于MN两点，当也护4运时，求直线|的方程.3例14. k 代表实数，讨论方程kx 2 2y 2 8 0所表示的曲线.“基本性质型”2 2例12. P 为椭圆L Z 1上一点，F 1、F 2为左右焦点，若 F 1PF 2 60 25 9 (1)求厶F t PF 2的面积；(2)求P 点的坐标.2 2例13.已知双曲线与椭圆—仏49 242 2例11 •设双曲线G 的方程为笃爲 a b1(a 0,b 0) , A 、B 为其左、右两个顶点, P 是双曲线C i 上的任一点，弓I QB PB, QA PA , AQ 与 BQ 相交于点Q (1)求Q 点的轨迹方程;(2)设(1)中所求轨迹为C 2 , C 1C 2的离心率分别为©e 2，当©. 2时，求e 2的取值范围1共焦点，且以y-x 为渐近线，求双曲线方程. 3例1.解：（I）设P（x,y）,由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以（0, J3）,（Q J3）为焦点，长半轴为2的椭圆.它的短半轴 b ； 22C- 3）21，故曲线C的方程为x2n)设A%, yj, B(x2, y2),其坐标满足x22y4kx11消去y并整理得1.(k24)x2 2kx 3 0,故x1x22kk2 4 ,x1x2uuu uuu若OA OB，即X1X2 y i y2 y〃2 k 2x1x2k(x i X2)1曰是x^2 y』23k2 43k22k2k2 41 0，化简得4k20,所以k例2. 解：（I）解法一：易知2,b 1,c F1.3,0 ,F2 设P x, yuui r PF1 uuun -PF2 3 x, y , .3 x, x2y2 3 x221 x_48因为x 2,2 ，故当x 0，即点P为椭圆短轴端点时, uuirPF1uunPF2有最小值即点P为椭圆长轴端点时,umr UJIHPF1PF2有最大值1解法二：易知a 2,b 1,c .3，所以F1.3,0 ,F2 .3,0 ，设P x,y，则uuir uuur PF1 PF 2 uuir uuuuPF1 PF 2 cos F1PF22 x y2 x 32 y2 12显然直线0不满足题设条件,消去y，整理得: k21 2x 4kx 4由4k2 24k 3 0得: uuu uuu二OAOB %x2yy 0 又y“2uuurPF1uuuu PF 2uuir 2PF」2x2y23 （以下同解法一）可设直线kx 2,A 为丛，B X2, y?,联立kxX24k.2 1 k 4X2k2k^ 2 kx2k2%x2A0B2k x190°X2cos A0Buu uurOA OB 0,4斗k2丄4k 2 1 3 k 2 10，即 k 21 k2 1 k 2 1 k 24 4 4 例3. 解: （I ）易知a 2,b h c■.；3 , uuir uuu u PF 1 PF 2 ,3 x,y ,- 3 x, y 诱 因为: X 2,2，故当 x 0, 即点P 为木椭 4 所以 即点P 为椭圆长轴端点时, 2, 2 X ••• 2 k 2,F i c （ X 0，y °）， B(0, 1) F i x 0 ,y o 7( J3,O , F 2 uur uum PF 1 PF 2有最大值 1 x 02—,又— 4 （川）因为 .3,0 2 y 0 由BF 1 x 2 1 uur PF 1 故由①、②得2 k -2或拧k 22 x 4 uuu u CF 1得 |BF 2| 值为 8. 例4.解: 故双曲线 PBF 1周长最大，最大 PF 2有最小值 2670解得 =4 - |PF 2| + |PB| < 所以有 + |PB| 1 0舍去）PBF 1周长w 4 +|BF 2| + |B F 1| w &所以当P 点位于直线BF 2与椭圆的交点处时, （I ）设双曲线方程为 IP F 1 (a 0,b 0).由已知得 a , 3, c 2,再由a 2 b 2 22,得 b 2 1. 2C 的方程为— 31. (□) kx 1得 (1 3k 2)x 2 6.2kx 9 0.由直线 I 与双曲线交于不同的两点得 A(X A ,y A ),B(X B ,y B )，则 X A 3k 2 (6.2k)2 6 2kX B 0, 而 X A X B y A y B X A X B (kX A (k 2 1)务 1 3k 2 1 k 23.② 3 由①、②得 1 2 1且k 2 1.① 3 即k 20. 2 3k ) 36(1 k 2) 9 uuu uuu 厂由OA OB 1 3k 1)X A X B ■2k (X A X B ) 2 72,即逬9 3k 2 1 3k 236(1 2, X A X B1 3k、2)(kx B .2) 3k 2 7 3k 2 1. 1 . 2k 3 1. 2得 X A X B 『A Y B 2,(k 2 3k[ 2 故k 的取值范围为 例5.解析：（1）直线AB 方程为：bx -ay -ab = 0.依题意 a_63， ab 、a 2 b 2 2椭圆方程为— 3y 21 . （2）假若存在这样的 k 值，由kx 3y 2(12k)2 36(1 3k 2) 0 •① 设 C(X 1 , yj 、D(X 2 ,y 2），则( 1, 2, 3X 1得(1 3k 2)2x 12kx 9.X2X 212k 1 3k?②而 9 1 3k 2y iy 2 (kx i 2)(kx 2 2) k 2X i X 2 2k(x i X 2) 4要使以CD 为直径的圆过点 E (-1 , 0),当且仅当CE 丄DE 时,4X 1 x 2 1 2 1即y°2 (x i 1)(x 2 1) 0二(k 吹兀 2(k 1)(捲x 2) 5 0 •③将②式代入③整理解得 7 7 k .经验证，k ，使①成立.综上可知，存在 6 6 7 k ，使得以CD 为直径的圆过点E . 6 例 6.解：设 A%, yj, B(X 2,y 2), AB 的中点 M (x °, y °) , k AB 『2 y i x 2 x .2 212, 3x 2 4y 212,2 2 2 相减得 3(X 2 X i ) 4( y 2 2、y i ) 0,即 y i y 2 3(x i X 2), y o 3x 0 , 3x o 4x o m, x o m, y 0 3m而M (x 0,y 0)在椭圆内部，则 2、空132.3 m —— 13例 7. (1) x 设 A(x i , y i ), Bg y 2)，直线：ykx2代入方程X 2(2 k 2)x 2 2k(i k)x (i k)22 0 ( 2 k 2X 22k(1 2占1，解得k 2 此时方程为 2x 2 4x 方程没有实数根。
所以直线 l 不存在。
例8 .解：(I )设椭圆方程为 2 2y x ~27~2abi , 由已知c 2 •、2，又—a丝解得 a =3,所以b =i ,3故所求方程2 为—X 2 1 (II 9 )设直线 I 的方程为 kx b(k H0)代入椭圆方程整理得 2 2 (k 9)x 2kbxb 29 0由题意得 x 1 2(2kb)24(k 2 2kb k 29 9)(b 2 9) 0 解得 k .. 3 或 k线I 与坐标轴不平行 故直线l 倾斜角的取值范围是 2 X 2例9(I)解：设点A 的坐标为((X 1,b)，点B 的坐标为(x 2,b)，由 y 2 1，解得 4 x i,2 2 1 b 2，所以1S b | x 1 x 2 |2 2b . 1 b 2 b 2 1 b 2 1 当且仅当 b 二时，S 取到最大值 2y (n)解：由 x 2kx b得(4 k 2 1)x 2 8kbx 4b 2 4 011.2x416(4k 2 b 21)①, I AB | = J 1 k 2|x X 2I V 1 k 2』6(t b 12 ②4k 2 1又因为0到AB 的距离d嵩1所以b 2③代入②并整理，得 4k 44 k 210，解得，k 21b 2 2,b3，代入①式检验，△>2故直线AB 的方程是：y-2或y例10解: (l )由已知,m (0,x)(、、2y 2,、.2).(、2y 2,x、.2）,(x 2,、.2).Q m // n, 即所求曲线的方程是:(n)由 2 X 2 ~2 y 1消去y 得 :(1 2k 2)x 24kx y kx 1. 0.解得 X 1=0, X 2=-1 4k一（X 1,X 2分别为 2k 2M N 的横坐标）.由 |MN| 1 k 2 |X 1 X 2| 1 k 2 | 企 | 4.2,解得 1 2k 3 :k 1.所以直线l 的方程x - y +1=0或x +y -仁0. 例11.解：（1）设 P(x o , y o ), Q(x, y)，: A( a,0), B(a,0), QBPB, QAPA2 y 。