【考点8】椭圆、双曲线、抛物线2009年考题1、（2009湖北高考）已知双曲线1412222222=+=-b y x y x 的准线经过椭圆（b ＞0）的焦点，则b=( )A.3B.5C.3D.2选C.可得双曲线的准线为21a x c=±=±,又因为椭圆焦点为2(4,0)b ±-所以有241b -=.即b 2=3故b=3. 2、（2009陕西高考）“0m n >>”是“方程221mxny +=”表示焦点在y 轴上的椭圆”的( )（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充要条件 (D) 既不充分也不必要条件【解析】选C.将方程221mxny +=转化为22111x y m n+=, 根据椭圆的定义，要使焦点在y 轴上必须 满足110,0,m n>>且11n m >，故选C.3、（2009湖南高考）抛物线28y x =-的焦点坐标是( )A ．（2，0）B ．（- 2，0）C ．（4，0）D ．（- 4，0） 【解析】选B.由28y x =-,易知焦点坐标是(,0)(2,0)2p-=-，故选B. 4、（2009全国Ⅰ）已知椭圆22:12x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ， 若3FA FB =,则||AF =( )(A)2 (B) 23 (D) 3【解析】选A.过点B 作BM l ⊥于M,并设右准线l 与X 轴的交点为N ，易知FN=1.由题意3FA FB =,故2||3BM =.又由椭圆的第二定义,得222||233BF==||2AF ∴=5、（2009江西高考）设1F 和2F 为双曲线22221x y a b-=(0,0a b >>)的两个焦点, 若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为( ) A ．32 B ．2 C ．52D ．3【解析】选B.由3tan623c b π==有2222344()c b c a ==-,则2c e a==,故选B. 6、（2009江西高考）过椭圆22221x y a b+=(0a b >>)的左焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆于点P ，2F 为右焦点，若1260F PF ∠=，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12 D ．13【解析】选B.因为2(,)b P c a-±，再由1260F PF ∠=有232,b a a=从而可得33c e a ==，故选B.7、（2009浙江高考）过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C ．若12AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A ．2 B ．3 C ．5 D ．10【解析】选C.对于(),0A a ，则直线方程为0x y a +-=，直线与两渐近线的交点为B ，C ，22,,(,)a ab a ab B C a b a b a b a b ⎛⎫- ⎪++--⎝⎭，则有22222222(,),,a b a b abab BC AB a b a b a b a b ⎛⎫=-=- ⎪--++⎝⎭， 因222,4,5ABBC a b e =∴=∴=．8、(2009山东高考)设双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A.45B. 5C. 25D.5【解析】选D.双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =,由方程组21b y xa y x ⎧=⎪⎨⎪=+⎩,消去y,得210b xx a -+=有唯一解,所以△=2()40ba-=, 所以2b a =,2221()5c a b b e a a a+===+=,故选D.9、(2009山东高考)设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ).A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =【解析】选B.抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 坐标为(,0)4a ,则直线l 的方程为2()4ay x =-,它与y 轴的交点为A (0,)2a -,所以△OAF 的面积为1||||4242a a⋅=,解得8a =±.所以抛物线方程为28y x =±,故选B.10、（20096( )（A ）22124x y -= （B ）22142x y -= （C ）22146x y -= （D ）221410x y -=【解析】选B.由6e =得222222331,1,222c b b a a a =+==，选B. 11、（2009天津高考）设双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的虚轴长为2，焦距为32，则双曲线的渐近线方程为（ ）Ax y 2±= B x y 2±= C x y 22±= D x y 21±= 【解析】选C.由已知得到2,3,122=-===b c a c b，因为双曲线的焦点在x 轴上，故渐近线方程为x x a b y 22±=±=. 12、（2009宁夏、海南高考）双曲线24x -212y =1的焦点到渐近线的距离为( )（A ）3 （B ）2 （C 3 （D ）1【解析】选A.双曲线24x -212y =1的焦点(4,0)到渐近线3y x =的距离为34023d ⨯-==选A.13、（2009宁夏、海南高考）设已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点为F(1，0)，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点。

若AB 的中点为（2，2），则直线ι的方程为_____________. 【解析】抛物线的方程为24y x =，()()()2111122122222212121212124,,,,4441y x A x y B x y x x y x y y y y x x x x y y ⎧=⎪≠⎨=⎪⎩--=-∴==-+∴则有，两式相减得，，直线l 的方程为y-2=x-2,即y=x答案：y=x14、 (2009湖南高考)已知以双曲线C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角 为60o，则双曲线C 的离心率为_____________.【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是,(b c b 是虚半轴长，c 是焦半距)，且一个内角是30︒，即得tan 30b c ︒=，所以3c b =，所以2a b =，离心率3622c e a ===答案：6215、（2009上海高考）已知1F 、2F 是椭圆1:2222=+by a x C （a ＞b ＞0）的两个焦点，P 为椭圆C 上一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则b =____________.【解析】依题意，有⎪⎩⎪⎨⎧=+=•=+2222121214||||18||||2||||cPF PF PF PF aPF PF ，可得4c 2＋36＝4a 2，即a 2－c 2＝9，故有b ＝3。

答案：316、（2009重庆高考）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若椭圆上存在一点P使1221sin sin a cPF F PF F =，则该椭圆的离心率的取值范围为 ．【解析】方法1，因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =设点00(,)x y 由焦点半径公式，得1020,PF a ex PF a ex =+=-则00()()a a ex c a ex +=-记得0()(1)()(1)a c a a e x e c a e e --==++由椭圆的几何性质知0(1)(1)a e x a a e e ->->-+则，整理得 2210,e e +->解得2121(0,1)e e e <--<-∈或，又>2121(0,1)e e e <--<-∈或，又，故椭圆的离心率(21,1)e ∈-方法2 由解析1知12cPF PF a=由椭圆的定义知212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a +=+==+则即，由椭圆的几何性质知22222,,20,a PF a c a c c c a c a<+<++->+则既2ac-a 2>0,所以2210,e e +->以下同解析1.答案：()21,1-17、（ 2009四川高考）抛物线24y x =的焦点到准线的距离是 .【解析】焦点F （1，0），准线方程1-=x ，∴焦点到准线的距离是2答案：218、（2009北京高考）椭圆22192x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若1||4PF =，则2||PF = ；12F PF ∠的大小为 . 【解析】∵229,3ab ==2，∴22927c a b =-=-=，∴1227F F =，又1124,26PF PF PF a =+==，∴22PF =， （第19题解答图）又由余弦定理，得()2221224271cos 2242F PF +-∠==-⨯⨯， ∴12120F PF ︒∠=，故应填2,120︒.答案：2,120︒19、(2009广东高考)已知椭圆G 的中心在坐标原点,长轴在x 轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F 和2F ,椭圆G 上一点到1F 和2F 的距离之和为12.圆k C :0214222=--++y kx y x )(R k ∈的圆心为点k A .(1)求椭圆G 的方程 (2)求21F F A k ∆的面积(3)问是否存在圆k C 包围椭圆G?请说明理由.【解析】（1）设椭圆G 的方程为：22221x y a b+= （0a b >>）半焦距为c;则21232a c a=⎧⎪⎨=⎪⎩ , 解得633a c =⎧⎪⎨=⎪⎩ , 22236279b a c ∴=-=-= 所求椭圆G 的方程为：221369x y +=. (2 )点K A 的坐标为(-k,2)12121126326322K A F F S F F =⨯⨯=⨯⨯=12F F 12121126326322K A F F S F F =⨯⨯=⨯⨯= （3）若0k ≥，由2260120215120k k ++--=+>0可知点（6，0）在圆k C 外， 若0k<，由22(6)0120215120k k -+---=->0可知点（-6，0）在圆k C 外； ∴不论K 为何值圆k C 都不能包围椭圆G .20、（2009重庆高考）已知以原点O 为中心的椭圆的一条准线方程为433y =，离心率32e =，M 是椭圆上的动点． （Ⅰ）若,C D 的坐标分别是(0,3),(0,3)-，求MC MD 的最大值；（Ⅱ）如图，点A 的坐标为(1,0)，B 是圆221x y +=上的点，N是点M 在x 轴上的射影，点Q 满足条件：OQ OM ON =+，0QA BA =．求线段QB 的中点P 的轨迹方程；【解析】（Ⅰ）由题设条件知焦点在y 轴上，故设椭圆方程为22221y x a b+=（a ＞b ＞ 0 ）.设22c a b =-33y =得.由32e =得32c a =，解得 a = 2 ,c = 3 b = 1，椭圆方程为2214y x += .又易知C ，D 两点是椭圆2214y x +=的焦点，所以,24MC MD a +== 从而22()242MC MD MC MD +⋅≤==，当且仅当MC MD =，即点M 的坐标为(1,0)± 时上式取等号，MC MD ⋅的最大值为4.（II ）如图（20）图，设M(,),(,)m m B B x y B x y (,)Q Q Q x y .因为(,0),N N x OM ON OQ +=， 故2,,QN Q M x x y y ==2222(2)4Q Q N Q x y x y +=+= ①因为0,QA BA ⋅=B B 11(1)(1)0,Q Q B B Q Q x y x y x x y y ----=--+=（）（）B B B +=+ 1.Q Q Q x x y y x x -所以 ②记P 点的坐标为(,)P P x y ，因为P 是BQ 的中点 所以P B P B 2=+,2=y +.Q Q x x x y y 又因为22B N +=1,x y ，结合①，②得2222222211(()())(2())44p p Q B Q BQ B Q B Q N Q N x y x x y y x x y y x x y y +=+++=+++++ 13(52(1)44Q B P x x x =++-=+） 故动点P 的轨迹方程为221()12x y -+=21、（2009重庆高考）已知以原点O 为中心的双曲线的一条准线方程为55x =，离心率5e =． （Ⅰ）求该双曲线的方程； （Ⅱ）如题（20）图，点A 的坐标为(5,0)-，B 是圆22(5)1x y +-=上的点，点M 在双曲线右支上，求MA MB +的最小值，并求此时M 点的坐标；【解析】（Ⅰ）由题意可知，双曲线的焦点在x轴上，故可设双曲线的方程为22221(0,0) x ya ba b-=>>，设c=5x=得25ac=，由e=得ca=解得1,a c==从而2b=，∴该双曲线的方程为2214yx-=；（Ⅱ）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，||||22MA MD a-==所以||||2||||2||MA MB MB MD BD+=+++≥，B是圆22(1x y+-=上的点，其圆心为C，半径为1，故||||11BD CD-=≥-1 ,从而||||2||1MA MB BD++≥当,M B在线段CD上时取等号，此时||||MA MB+1直线CD的方程为y x=-+M在双曲线右支上，故0x>由方程组2244x yy x⎧-=⎪⎨=-⎪⎩解得x y==所以M点的坐标为；22、(2009山东高考)设椭圆E:22221x ya b+=（a,b>0）过M（2），,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。