初等行变换
即： ( A | E ) ( E | B)，
线性代数
A1 ＝B.
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1 2 3 例题1：已知 A 2 2 1 ，用初等行变换求 A1。 3 4 3
1 2 3 1 0 0 解：( A E 3 ) 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1
r3 r2 r1 r2
线性代数
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0 1 3 2 1 0 0 2 0 3 6 5 0 0 1 1 1 1
r2 5 r3 r1 2 r3
3 2 1 0 0 1 3 5 0 1 0 2 3 2 0 0 1 1 1 1
1 1 D 0 0
第 r行
Or ( n r ) Er O O ( m r ) r ( m r ) ( n r )
第 r列
矩阵D称为矩阵A的等价标准形。
线性代数
定理 :
设Amn (aij )mn，则有：
(1). 对A施行一次初等行变换所得的矩阵， 等于用相应的 m 阶初等矩阵左乘 A . ( 2). 对A施行一次初等列变换所 得的矩阵， 等于用相应的 n 阶初等矩阵右乘 A .
线性代数
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定理 :
任意矩阵Amn (aij )mn 经过若干次初等变换， 可以化为下面形式的等 价矩阵D：
线性代数
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1 0 0 11 2 2 0 0 1 6 1 1 0 1 0 4 0 1
2 1 0 0 1 0 0 1 1 2 1 0 0 1 0 4 0 1
r2 2 r1 r3 4 r1
1 0 0 1 0 2 r2 r3 0 0 1 6 1 1 0 1 0 4 0 1
r3 ( 1 ) r2 ( 1 ) 2
1 3 1 A 2 1
2 5 3 2 1 1 3
线性代数
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1 0 2 练习：求矩阵 A 2 1 3 的逆矩阵。 4 1 8
1 0 2 1 0 0 解： ( A E3 ) 2 1 3 0 1 0 4 1 8 0 0 1
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推论1 : 对任意m n矩阵A, 存在m阶初等矩阵P1 , P2 ,
, Ps和n阶初等矩阵Q1 , Q2 ,, Qt , 使得：
E r O A可逆，则左边所有矩阵 都可逆，因此D可逆， Ps P2 P1 AQ1Q2 Qt O O 故det（D）不等于0. 由于初等矩阵都可逆， 上式又可写为 E r O 1 Qt Q2 1Q1 1 A P1 P2 Ps O O 于是得
线性代数
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初等变换
矩阵的以下三种变换， 称为矩阵的初等行变换
(1).交换矩阵的两行
(互换 i , j 两行记作：ri rj )
(2).以一个非零的数乘矩阵 的某一行
(数 k 乘第 i 行记作：kri )
(3).把矩阵的某一行乘以一 个数加到另一行上
(在第 j 行加上第 i 行的 k 倍记作：rj kri )
线性代数
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如果把定义中的 " 行" 换成"列"， 把记号中的 " r " 换成" c"， 上述定义也就相应的变 成了 矩阵的初等列变换。
矩阵的初等行变换和初 等列变换 统称为矩阵的初等变换 。
线性代数
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矩阵等价
如果矩阵 A经过有限次初等变换后 变成 B， 就称矩阵 A与矩阵 B等价，记为: A B .
本讲内容：
1、用初等行变换求逆矩 阵
2、矩阵的秩的概念
3、用初等行变换求矩阵 的秩
线性代数
1
本讲要求：
1、掌握初等行变换求逆 矩阵的方法 2、会用初等行变换求矩 阵的秩
重点难点： 初等行变换
线性代数
2
重 点 回 顾
求逆公式
矩阵A可逆的充要条件是 A 0， 并 且当A可逆时，有
A
1
1 A A
1 1 1
推论2 :
n 阶方阵可逆的充分必要 条件是A的等价 标准形为En .
线性代数
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定理 : n阶矩阵A为可逆的充分必要条件是它
可以表示为一些初等矩 阵的乘积。
由定理可得，如果A可逆，那么A1也可逆， 并且存在初等矩阵G1 , G2 ,Gk ,使得
A1 G1G2 Gk
于是：A1 A G1G2 Gk A
3 1 0 0 1 2 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1
r2 2 r1 r3 3 r1
1 0 2 1 1 0 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1
2 3 9 1 1 2 3 9 例如： 3 8 12 38 与 0 1 3 8 等价。 2 5 0 0 1 3 10 3
线性代数
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初等矩阵
n阶单位阵E经过一次初等变换所得 到的矩阵， 称为n阶初等矩阵。
即：E G1G2 Gk A
(1) ( 2)
A1 G1G2 Gk E
(1)式表示对A施以若干次初等行变换 化为E， (2)式表示对E施以同样的初等行变换 化为A1
线性代数
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对于可逆矩阵 A，我们用一个同阶单位 阵将其扩 充为( A | E )，然后对新矩阵( A | E )施行初等行变换， 将左半边的 A 化成 E，同时右半边的 E 所化成的 矩阵便是 A 1，即最终化为 ( E | A 1 ).