线性代数
初等变换法求逆矩阵及 解矩阵方程
初等变换法求逆矩阵
线性代数
两个已知结论 1、n阶矩阵A可逆当且仅当A能够表示成若干初等 矩阵的乘积，即存在初等矩阵P1, P2, … , Pm使得
A= P1P2…Pm .
2、在矩阵A的左边乘以一个初等矩阵相当于对A进 行一次相应的初等行变换;
在A的右边乘以一个初等矩阵相当于对A进行一 次相应的初等列变换.
例 求矩阵X，使AX=B，其中
1 2 3
2 5
A
2
2
1
,
B
3
1
.
3 4 3
4 3
解 若A可逆，则X= A−1B.
1 2 3 2 5
(A
B)
2
2
1
3
1
3 4 3 4 3
3 2
X
2
3
.
1 3
1 0 0 3 2
0 0
1 0
0 1
2 1
3 3
小结
线性代数
1、初等变换求逆矩阵
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
或
A
E
初等列变换
E
A1
2、初等变换求解矩阵方程
(1) A可逆，AX=B
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1 B )
(2) A可逆， XA=C
X= CA−1
A 初等列变换 E
C
CA1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
若A可逆，则A−1可逆，因而A−1可以表示成若干初 等矩阵Q1, Q2, … , Qm 的乘积，即A−1= Q1Q2…Qm .
A可逆， A1 A E
A1 E =A1
Q1Q2…Qm A= E
Q1Q2…QmE= A−1
A可以经过一系列初等 行变换化为E，即
行
AE
E可以经过一系列相同的初 等行变换化为A−1 ，即
初等列变换法求逆矩阵
线性代数
类似地
A−1= Q1Q2…Qm
AA1 E
EA1 =A1
A Q1Q2…Qm = E
EQ1Q2…Qm= A−1
A经过一系列初等列变 换化为E，即
列
AE
E经过一系列相同的初等列 变换化为A−1 ，即
E 列 A−1
A 初等列变换
E
E
A1
初等变换法求矩阵方程
线性代数
r1 r2 r3 2r2
1
0
0
0 1 0
3 2 2
1 0 2
1 1 2
0
0
1
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
1 r3 ( 2)
1 0
0 1
3 2
1 0
1 1
0
0
0 0
1
1
1
1
2
r1 3r3 r2 2r3
1
0
0
4
2
3 2
0 1 0 2 1 1
0 0 1 1
1
1
2
A-1
E 行 A−1
(A E) 初等行变换 (E A−1 )
初等行变换法求逆矩阵
线性代数
1 1 1
例
设A
01ຫໍສະໝຸດ 2 ，判断A是否可逆，若可逆，求A1.
2 4 2
解
1 1 1 1 0 0
1 1 1 1 0 0
A
E
0
1
2
0
1
0
r3 2r1
0
1
2
0
1
0
2 4 2 0 0 1
0 2 2 2 0 1
若A可逆，且AX=B A−1= Q1Q2…Qm Q1Q2…Qm A= E
Q1Q2…Qm B= A−1B
若A可逆，且XA=C AQ1Q2…Qm = E
CQ1Q2…Qm = CA−1
X= A−1B
(A B) 初等行变换 (E A−1B)
X= CA−1
初等列变换
E
CA1
初等变换法求矩阵方程
线性代数