用矩阵初等变换逆矩阵
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。

李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。

作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。

下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。

用矩阵的初等变换求逆矩阵
一、问题提出
在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃）
二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”）
我们已学习了矩阵初等变换的性质，如
1.定理
2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。

2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。

3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。

即
4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。

（1）
由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么
（2）
由（1）式 代入（2）式左边，
上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置
变换为我们所要求的1
A -,即
21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P
P P P EQ Q Q Q R R R ----------=⇒=∆L L L L L 111
21m R R R A E
---=L 111121m R R R A ----=L ()
()
1
22n n
n n
A E E A -⨯⨯−−−−−→ 1*
1A A A -=(
)()()
1111A A E A A A E E A ----==1111
21m A R R R ----=L (
)()
1
111
21m R R R A E E A ----=L
三，讲解例题
1. 求逆矩阵方法的应用之一 例
解：
四，知识拓展
2．求逆矩阵方法的应用之二
利用矩阵的初等行变换也可以判断一个矩阵是否可逆，即分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置不能变换为单位阵E ，那么A 不可逆。

例
解：
而上面分块矩阵的第一块第二行全为零，它不可能变换为单位矩阵，所以A 不可逆。

3．求逆矩阵方法的应用之三
利用矩阵初等行变换解矩阵方程 （“润物细无声”）
1
112120,113A A -⎛⎫
⎪=- ⎪ ⎪
⎝⎭
设求。

112100120010113001A E ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭
（）2131r r r r +-1121
000321
10001101⎛⎫
⎪−−→ ⎪
⎪-⎝⎭
110302030312001101⎛-⎫ ⎪−−→- ⎪ ⎪-⎝⎭
132322r r r r --3021101201013
30011
1⎛⎫
- ⎪−−→- ⎪
⎪ ⎪-⎝⎭
31
3r 14233100
120101
33001101⎛⎫-- ⎪ ⎪→- ⎪
⎪- ⎪⎝
⎭
12
r r
-11423312133101A -⎛⎫--
⎪ ⎪⇒=- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭112122145,41211111A A ----⎛⎫
⎪
-
⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭
设求。

12121000214501004121001011110001A E ⎛---⎫ ⎪- ⎪=
⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭（）12121000036921000969401001231001⎛---⎫
⎪- ⎪→ ⎪
- ⎪ ⎪-⎝⎭
12121000000011030969401001231001⎛---⎫
⎪
-
⎪→ ⎪- ⎪ ⎪-⎝⎭
对一般的矩阵方程 求解，我们可以先求1A - ，然后求X ＝1A -B 。

现在我们介绍另外一种方法求矩阵方程。

其实在推导求逆矩阵方法的过程就是求解矩阵方程的过程，因为求1A -就是求解矩
阵方程 的解，而对一般的矩阵方程 只要将 中的E 换成B ，然后利用初等行变换，即
其中的1A -B 即为所求矩阵方程 的X 。

例
解：
五、小结
1.矩阵初等行变换：求逆、判断矩阵是否可逆、 解矩阵方程
2.思考：若XA=B ，如何用初等变换法求X?
贺建辉 2007-11-21
AX E =
AX B =AX B =()
A E ()
()
1
22n n
n n
A B E A B
-⨯⨯−−−−−→ AX B =123252213134343A B AX B X ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
设，，若，求。

123252213134343A B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭（）1232502519026212⎛⎫ ⎪→---- ⎪ ⎪----⎝⎭102140251900113⎛--⎫
⎪
→---- ⎪
⎪---⎝⎭100320204600113⎛⎫ ⎪→- ⎪ ⎪---⎝⎭100320102300113⎛⎫ ⎪→-- ⎪ ⎪⎝⎭
1
32X 2313A B -⎛⎫ ⎪⇒==-- ⎪
⎪⎝⎭。