指数函数与对数函数一、实数指数幂１、实数指数幂:如果x n =a （n ∈N +且n>1),则称x 为ａ 的n 次方根。

当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数,负数的ｎ次方根是一个负数。

这时,a 的n 次方根只有一个，记作n a .当n 为偶数时,正数a 的n 次方根有两个,它们互为相反数,分别记作n a ,－n a 。

它们可以写成±n a 的形式。

负数没有 （填“奇”或“偶")次方根。

例：填空：（1）、(38)3= ;（38-)３= .(2）338= ;33)8(-＝ 。

（3)、445＝ ；44)5(-= 。

巩固练习:１、将下列各分数指数幂写成根式的形式: （1）32a (2)53-b（b ≠0)2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： (1)52a （2）351a(a ≠0）3、求下列幂的值:(1)、（—5)0; (２）、(ａ-b ）0； (3)、2-１; (4)、(47)4。

2、实数指数幂的运算法则 ①、βαa a •=βα+a②、βαaa =βα-a③、βα)(a =αβa④、α)(ab =ααb a • ⑤、α)(ba ＝ααb a例１：求下列各式的值：⑴、21100 ⑵、328-⑶323188•例２：化简下列各式：⑴、3a a ⑵、633333••巩固练习:１、求下列各式的值:⑴、433162⋅-⑵、4482⋅ ⑶55325.042⋅⋅-２、化简下列各式：⑴2)3(-x⑵232)(-yx⑶203532a a a a •••-(a ≠０）二、幂函数1、幂函数：形如αx y =（α∈R ，α≠0)的函数叫做幂函数,其中x 为自变量,α为常数。

例1、判断下列函数是否是幂函数：⑴、y=4x ⑵、y=3-x ⑶、y ＝21x ⑷、y=x 2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝xx ++2)1( ⑺、y ＝2x +2x+1巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象,指出它们的定义域:⑴、ｙ＝x;⑵、y ＝21x ;⑶y=1-x ; ⑷y=2x ;⑸y ＝41-x。

三、指数函数1、指数函数:形如y ＝xa (ａ＞０,且a ≠1)的函数叫做指数函数,其中x 为自变量,a 为常数,指数函数的定义域为R 。

例１：判断下列函数是不是指数函数?（1)xy )3(-= (2)43x y = (３）21xy =(4)x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=52 （５) ｙ＝x2 （6) y=x )21(2、指数函数性质归纳例1：已知指数函数y=a x 的图像过点（２,16)。

①求函数的解析式及函数的值域。

②分别求当x=１，３时的函数值。

例2:判断下列函数在（﹣∞,﹢∞)上的单调性①ｙ＝0。

5x②ｙ=x-⎪⎭⎫ ⎝⎛31四、对数１、对数:如果b a =N(a>0，a ≠1）,那么b 叫做以a 为底N 对数,记作㏒aN=b ，其中,a 叫做对数的底数,简称底；Ｎ叫做真数.㏒aN 读作:“以a 为底Ｎ的对数”。

我们把b a =N 叫做指数式，把㏒aＮ＝b 叫做对数式。

２、对数式与指数式关系：例1：将下列对数式改写成指数式：(1)㏒38１＝4； （2)㏒５125=3; 例2:将下列指数式改写成对数式: （1）、35=125, （2）、4116=23、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。

N(N ＞0)的常用对数㏒10N 可简记为lg Ｎ。

例如:㏒107可简记为 ｌg74、自然对数:以e 为底的对数,这里ｅ=2。

718281…是一个无理数。

N （N ＞0)的自然对数㏒e Ｎ可简记为㏑N 。

例如:㏒e5可简记为㏑5 ５、零和负数没有对数.对数底数指数 b a ＝N ㏒aN ＝ b真数 幂6、根据对数定义,可以证明:㏒ａ1=0；㏒ａa=１（ａ＞0,且a ≠１）7、对数的运算性质:(1)积的对数:两个正数的积的对数,等于同一底数的这两个数的对数的和，即㏒a （MN ）=㏒a Ｍ+㏒ａN（２）商的对数:两个正数的商的对数,等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即㏒aNM=㏒a M —㏒ａN (３）幂的对数:一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数,即 ㏒ａb M ＝b ㏒a Ｍ 其中，a>０,a ≠1,M>0，N>０ 例：求出下列各式的值：1、㏒2(４×8)2、㏒3（９×２7) ３、㏒21664 4、㏒５7525 5、3㏒24 6、㏒3219五、对数函数1、对数函数：函数log a y x =（0,a >且1a ≠)就是对数函数。

是指数函数xy a =（0,a >且1a ≠)的反函数.２、对数函数的图象和性质性质对数函数log a y x =()1a > ()01a <<性质1.对数函数log a y x =的图像都在Ｙ轴的右方. 性质２。

对数函数log a y x =的图像都经过点(１，0)性质3.当1x >时,0y >; 当1x >时，0y <; 当01x <<时,0y <. 当01x <<时，0y >。

性质4.对数函数在()0,+∞上是增函数． 对数函数在()0,+∞上是减函数.例1:求下列函数的定义域:()21log a y x =;（2)2log (4)a y x =-；(３)log 4ax y x=-例２:利用对数函数的性质,比较下列各题中两个值的大小: (1)3log 5和3log 7; (2) 0.5log 3和0.5log π; （3）1log 2a 和1log 3a ,其中0,1a a >≠综合练习1、下列各式中正确的是( ) A ． 100= B 。

74471a a=-C 。

11-1-=）（ D 。

5511aa =-２、下列等式中能够成立的是( ） A 。

3339= B 。

5515)(b a ba⋅=Ｃ.32322)(y x y x +=+ D 。

3623)3(-=-3、设0≠b ,化简式子61531222133)()()(ab b a b a ⋅⋅--的结果是（ ）A 。

1-ab Ｂ. a C 。

1-a D 。

1)(-ab 4、在式子23)32(-+x 中,x 的取值范围是( ）A 。

R x ∈B 。

32-≠xC ． 32->x D. 32-≥x 5、幂函数31x y =必经过点( )A 。

)2,2( B. )1,1(和)0,0( C 。

)21,21( D 。

)3,1( ６、幂函数3x y =的奇偶性为( )Ａ。

奇函数 B. 偶函数 C 。

非奇非偶函数 Ｄ。

减函数７、下列函数中，为指数函数的是( ）A. ()xy 1-= B ． x y 2-= C. x y π= D ． )10(1≠>=+a a a y x 且８、计算[]212)4(--的结果是9、=⋅⋅842422 , =32)833(1０、比较下列各题中两个实数的大小(1)4-55151⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-与 (２)5.3-522与-课后练习一、选择题1、函数y =的定义域是( )A.3{1}2x x x ≤->或 B 。

3{1}2x x x ≤-≠且 C 。

3{1}2x x x ≤-≥或 D.{1}x x ≤-2、定义在Ｒ上的偶函数()f x ,在(0,)+∞上是增函数,则 （ ）A ．(3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-< Ｃ.(3)()(4)f f f π<-<- D.(4)()(3)f f f π-<-<3、式子1241()162--的值为 ( )A.—2 B ．2 Ｃ．4 D.-４4、式子2(lg5)lg 2lg50+•的值为 ( )A ． 6 B.4 C ．3 D.１5、已知3412)(++=x x x f （x ∈R,x ≠43-)，则)2(1--f的值为（ ) Ａ．107-B 。

53- Ｃ。

53 D ．1076、已知()log a f x x =的图象过点(5,3)，则a = ( ）A ．5B ．3C ．35 D ．357、若14()162x<<，则的取值范围是 ( ）A ．24x <<B ．42x -<<- Ｃ．42x -<< D.24x -<< 8、对于10<<a ，给出下列四个不等式： ①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③ aaa a111++< ④aaaa 111++>其中成立的是( ） A 。

①与③ B ．①与④C 。

②与③ﻩD 。

②与④9、已知20.3a =，2log 0.3b =,0.32c =，则下列正确的是 （ )A ．a b c >> B. c a b >> Ｃ．c b a >> D ．b c a >> 10、已知ｌｇ2=a ,ｌg3=b ,则15lg 12lg 等于 ( ) A.ba ba +++12Ｂ．b a b a +++12ﻩC.b a b a +-+12ﻩD.ba ba +-+12１１、当1>a 时,函数11-+=x x a a y 是（ ）.A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数 12、3log 9log 28的值是 ( ）A.32ﻩ B.１ Ｃ.23 D ．２13、若a 2322,82ba b +=⨯=则 （ )Ａ。

2 Ｂ．4ﻩ C.８ D ．１6１４、函数12log (21)y x =-的定义域为( ）A ．（21，+∞)ﻩ B.［1,+∞) C.(21，1]ﻩＤ．（-∞，１) 15、34873log 4log 8log 7log log 18m •••=，那么m =( )A.27 B ．18 C ．9 D ．92二、填空题１6、二次函数2()21f x x x =+-,则()f x 的图像的对称轴是直线 1７、函数0.(12>+=-a ay x 且)1≠a 的图像必经过点18、函数13-=x y 的反函数是 19、4102160x x-⨯+=的解集是 2０、[]222log log (log )1x =,则x = 三、解答题 21、计算 (1） 1100.753270.064()160.018---++ （2）22223log (log 32log log 6)4-+22、解不等式与方程(1)解不等式：222121()33x x x -+-> (２）解方程：222log (1)log log 6x x ++=ﻩ２3、已知函数()xf x a b =+的图象过点(1,3),其反函数1()fx -的图象过(2,0)，求函数()f x 的解析式。