指数函数与对数函数一、实数指数幂1、实数指数幂：如果x n=a （n ∈N +且n ＞1），则称x 为a 的n 次方根。

当n 为奇数时，正数a 的n 次方根是一个正数，负数的n 次方根是一个负数。

这时，a 的n 次方根只有一个，记作n a 。

当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，它们互为相反数，分别记作n a ，－na 。

它们可以写成±n a 的形式。

负数没有 （填“奇”或“偶”）次方根。

例：填空：（1）、（38）3= ；（38-）3= 。

（2）338= ；33)8(-= 。

（3）、445= ；44)5(-= 。

巩固练习：1、将下列各分数指数幂写成根式的形式： （1）32a （2）53-b（b ≠0）2、将下列各根式写成分数指数幂的形式： （1）52a （2）351a（a ≠0）3、求下列幂的值：（1）、（-5）0； （2）、（a-b ）0； (3)、2-1； （4）、（47）4。

2、实数指数幂的运算法则 ①、βαa a •＝βα+a②、βαaa ＝βα-a③、βα)(a ＝αβa④、α)(ab ＝ααb a • ⑤、α)(ba ＝ααb a例1：求下列各式的值：⑴、21100 ⑵、328-⑶323188•例2：化简下列各式：⑴、3a a ⑵、633333••巩固练习：1、求下列各式的值：⑴、433162⋅-⑵、4482⋅ ⑶55325.042⋅⋅-2、化简下列各式：⑴2)3(-x⑵232)(-yx⑶203532a a a a •••-（a ≠0）二、幂函数1、幂函数：形如αx y =（α∈Ｒ，α≠0）的函数叫做幂函数，其中x 为自变量，α为常数。

例1、判断下列函数是否是幂函数：⑴、y ＝4x ⑵、y ＝3-x ⑶、y ＝21x ⑷、y ＝x2 ⑸、s ＝4t ⑹、y ＝xx ++2)1( ⑺、y ＝2x +2x+1巩固练习：观察下列幂函数在同一坐标系中的图象，指出它们的定义域：⑴、y ＝x ；⑵、y ＝21x ；⑶y ＝1-x ； ⑷y ＝2x ；⑸y ＝41-x。

三、指数函数1、指数函数：形如y ＝x a （a ＞0,且a ≠1）的函数叫做指数函数，其中x 为自变量，a 为常数，指数函数的定义域为R 。

例1：判断下列函数是不是指数函数？(1)xy )3(-= (2)43x y = （3）21xy =（4）x y -⎪⎭⎫ ⎝⎛=52 (5) y ＝x2 (6) y ＝x )21(2、指数函数性质归纳例1：已知指数函数y=a x的图像过点（2，16）。

①求函数的解析式及函数的值域。

②分别求当x=1，3时的函数值。

例2：判断下列函数在（﹣∞，﹢∞）上的单调性①y=0.5x②y=x-⎪⎭⎫ ⎝⎛31四、对数1、对数：如果ba ＝N(a ＞0，a ≠1),那么b 叫做以a 为底N 对数，记作㏒aN ＝b ，其中，a 叫做对数的底数，简称底；N 叫做真数。

㏒aN 读作:“以a 为底N 的对数”。

我们把b a ＝N 叫做指数式，把㏒aN ＝b 叫做对数式。

2、对数式与指数式关系：例1：将下列对数式改写成指数式：（1）㏒381=4； （2）㏒5125=3； 例2：将下列指数式改写成对数式： （1）、35=125， （2）、4116=23、常用对数：把以10为底的对数叫做常用对数。

N(N ＞0)的常用对数㏒10N 可简记为lg N 。

例如：㏒107可简记为 lg74、自然对数：以e 为底的对数，这里e=2.718281…是一个无理数。

N （N ＞0）的自然对数㏒eN 可简记为㏑N 。

例如：㏒e5可简记为㏑5 5、零和负数没有对数。

6、根据对数定义，可以证明：㏒a 1=0；㏒a a=1（a ＞0,且a ≠1）7、对数的运算性质：（1）积的对数：两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即㏒a （MN ）=㏒a M ＋㏒a N（２）商的对数：两个正数的商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数，即㏒aNM=㏒a M-㏒a N （３）幂的对数：一个正数的幂的对数，等于幂指数乘以这个数的对数，即 ㏒a bM ＝b ㏒a M 其中，a ＞0，a ≠1，M ＞0，N ＞0 例：求出下列各式的值：1、㏒2（4×8）2、㏒3（9×27）3、㏒216644、㏒575255、3㏒246、㏒3219对数底数指数 b a ＝㏒aN ＝ b真数 幂五、对数函数1、对数函数：函数log a y x =（0,a >且1a ≠）就是对数函数。

是指数函数xy a =（0,a >且1a ≠）的反函数。

2、对数函数的图象和性质对数函数log a y x =()1a > ()01a << 性质1.对数函数log a y x =的图像都在Ｙ轴的右方. 性质2.对数函数log a y x =的图像都经过点（1，0）性质3.当1x >时，0y >； 当1x >时，0y <； 当01x <<时，0y <. 当01x <<时，0y >. 性质4.对数函数在()0,+∞上是增函数. 对数函数在()0,+∞上是减函数.例1：求下列函数的定义域：()21log a y x =；（2）2log (4)a y x =-；（3）log 4a xy x=-例2：利用对数函数的性质，比较下列各题中两个值的大小： （1）3log 5和3log 7; (2) 0.5log 3和0.5log π； （3）1log 2a和1log 3a ，其中0,1a a >≠综合练习1、下列各式中正确的是( ) A. 100= B. 74471a a=-C. 11-1-=）（ D. 5511aa=-2、下列等式中能够成立的是（ ） A.3339= B. 5515)(b a ba⋅=C. 32322)(y x y x +=+ D. 3623)3(-=-3、设0≠b ，化简式子61531222133)()()(ab b a b a ⋅⋅--的结果是（ ）A. 1-abB. aC. 1-aD. 1)(-ab 4、在式子23)32(-+x 中，x 的取值范围是（ ）A. R x ∈B. 32-≠x C. 32->x D. 32-≥x 5、幂函数31x y =必经过点（ ）A. )2,2(B. )1,1(和)0,0(C. )21,21( D. )3,1( 6、幂函数3x y =的奇偶性为（ ）A. 奇函数B. 偶函数C. 非奇非偶函数D. 减函数7、下列函数中，为指数函数的是（ ）A. ()xy 1-= B. x y 2-= C. x y π= D. )10(1≠>=+a a a y x 且8、计算[]212)4(--的结果是9、=⋅⋅842422 , =32)833(10、比较下列各题中两个实数的大小（1）4-55151⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛-与 （2）5.3-522与-课后练习一、选择题1、函数y =（ ）A.3{1}2x x x ≤->或B.3{1}2x x x ≤-≠且C.3{1}2x x x ≤-≥或 D.{1}x x ≤- 2、定义在R 上的偶函数()f x ，在(0,)+∞上是增函数，则 （ ）A ．(3)(4)()f f f π<-<-B ．()(4)(3)f f f π-<-<C ．(3)()(4)f f f π<-<-D ．(4)()(3)f f f π-<-<3、式子1241()162--的值为 （ ）A ．-2B ．2C ．4D ．-44、式子2(lg5)lg 2lg50+•的值为 （ ）A ． 6B ．4C ．3D ．15、已知3412)(++=x x x f (x ∈R,x ≠43-),则)2(1--f 的值为 ( )A.107-B.53-C.53D.1076、已知()log a f x x =的图象过点(5,3)，则a = （ ）A ．35 D7、若14()162x<<，则的取值范围是 （ ）A ．24x <<B ．42x -<<-C ．42x -<<D ．24x -<< 8、对于10<<a ,给出下列四个不等式: ①)11(log )1(log a a a a +<+ ②)11(log )1(log aa a a +>+ ③ aaaa111++< ④aaaa 111++>其中成立的是 ( )A.①与③B.①与④C.②与③D.②与④ 9、已知20.3a =，2log 0.3b =，0.32c =，则下列正确的是 （ ）A ．a b c >>B ． c a b >>C ．c b a >>D ．b c a >> 10、已知lg2=a ，lg3=b ，则15lg 12lg 等于 （ ） A ．ba ba +++12B ．ba ba +++12C ．ba ba +-+12D ．ba ba +-+1211、当1>a 时，函数11-+=x x a a y 是 （ ）.A 奇函数 .B 偶函数 .C 既奇又偶函数 .D 非奇非偶函数12、3log 9log 28的值是 （ ） A ．32 B ．1 C ．23 D ．213、若a 2322,82ba b +=⨯=则 （ ）A. 2B ．4C ．8D ．1614、函数12log (21)y x =-的定义域为 （ ）A ．(21，＋∞) B ．［1，＋∞)C ．(21，1] D ．(－∞，1)15、34873log 4log 8log 7log log 18m •••=，那么m = （ ）A ．27B ．18C ．9D ．92二、填空题16、二次函数2()21f x x x =+-，则()f x 的图像的对称轴是直线 17、函数0.(12>+=-a ay x 且)1≠a 的图像必经过点18、函数13-=x y 的反函数是 19、4102160xx-⨯+=的解集是 20、[]222log log (log )1x =，则x = 三、解答题 21、计算（1） 1100.753270.064()160.018---++ （2）22223log (log 32log log 6)4-+22、解不等式与方程 （1）解不等式：222121()33x x x -+-> （2）解方程：222log (1)log log 6x x ++=23、已知函数()xf x a b =+的图象过点(1,3)，其反函数1()fx -的图象过(2,0)，求函数()f x 的解析式。