试判定该系统的稳定性，系统的特征方程为：
s 2 s 24 s 48 s 25 s 50 0
5 4 3 2
解：
s s
5 4 3 2 1 0
1 2
24 48
25 50
计算劳斯行列式
s s s s
8 0
24 112 .7 50
4
96 0
50
辅助多项式：
P ( s ) 2 s 48 s 50
3 2
s' 4 s' 6 s'11 K 0
3 2
s
'3 '2 '1
1 4 35 K 4 K 11
6 K 11 0 0
劳斯行列式：
s s s
'0
35 K 0 令 K 11 0
,
则有11<K<35。
当11<K<35时，所有闭环极点落在s=-1垂线左侧。
b3
a n 1a n 6 a n a n 7 a n 1
c1
b1a n 3 a n1b2 b1
,c2
b1an 5 an1b3 b1
s
0
c 3
b1an 7 an1b4 b1
c1b2 b1c2 c1
,
c1b3 b1c3 c1
d1
解： （1）系统闭环传递函数
G闭 ( s ) G0 ( s ) 1 G0 ( s )
s
3 2
K s 7 s 17 s K
3 2
1 7 119 K 7 K
17 K 0 0
令 119 K 7 0,
劳斯行列式：
s s s
1
0
则K=119。
由为零的上一行组成辅助方程：
P ( s ) 7 s 119 0 K
第五章 线性定常连续系统分析 本章主要内容
系统（运动）稳定性概念 (Stability)
熟练掌握Routh,Nyquist稳定判据
静态误差计算 (Static Error)
有关定义和计算
二阶动态系统的运动特征 (Second Order Dynamic System)
各类性能指标定义和二阶系统运动分析
an a n 1 b1 c1 d1
an 2 an 3 b2 c2 d2
an 4 an 5 b3 c3 d3
an 6 an 7 b4 c4 d4

b1
a n 1a n 2 a n a n 3 a n 1
n 1 n 2 n 3 n 4
例5.4
试判定该系统的稳定性，系统特征方程为：
s 2 s 3 s 6 s 10 s 15 0
5 4 3 2
解： 计算劳斯行列式如下：
s s s s s s
5 4 3 2 1 0
1 2
3 6
10 15
ε→0 首列整理为:
符号改变一次 →
符号改变一次 →
s s s s
5 4 3 2
为使系统稳定，K必须大于零，同时还必须满足:
9 2 7 K 0,
即K
14 9
因此，保证系统稳定的K值范围是 0 K 14 / 9。
例5.8
已知单位反馈控制系统的开环传递函数为
G0 ( s ) K s( s 7 s 17 )
2
(1) 确定使闭环系统产生持续振荡的K的取值，并求 振荡频率。 [s] [s’] (2) 若要求闭环极点全部位于s = -1垂线的左侧，求 K的取值范围。 分析： -1 0
方程解为：
（2）某行的系数都为零
l 表明系统具有成对的实根或共轭虚根，这些根 大小相等，符号相反； l 利用全零行上面的一行系数构成辅助多项式 P（s），然后由
dP ( s ) ds
的系数代替零行，继续
劳斯行列式的计算；
l 辅助多项式为系统特征多项式的因子式，可以
通过求解辅助方程求出那些对根。
例5.5
几种特殊情况
（1）第一列有零值出现
用一很小的正数ε来代替这个零，并继续劳斯行列式 的计算； 当得到完整的劳斯行列式后，令ε→0，检验第一列的 符号变化次数； 若符号没有发生变化，则说明系统具有一对纯虚根,可 利用辅助方程求出； 若符号发生变化，符号变化的次数，就是系统具有不 稳定根的个数。
辅助方程是系统特征方程的一个因子式。
5.1.3 劳斯稳定判据的应用
1、判断系统的稳定性
2、分析系统参数对系统稳定性的影响
例5.7 控制系统方块图如图所示，确定能保证该 系统稳定的K值范围。
解：系统的闭环传递函数为：
Y ( s) R( s ) K s( s s 1)( s 2) K
, d2
,
劳斯稳定判据： 系统稳定的必要且充分条件是：在 系统特征方程的系数全为正的基础上，劳斯行列式中 第一列的系数全为正号。
例5.1
利用劳斯稳定判据，判断下列系统的稳定性。
Y ( s) R( s ) 2s 1 s 7 s 18 s 21s 10
4 3 2
解：它的特征方程式是：s 4 7 s 3 18 s 2 21s 10 0 特征方程式中系数皆为正，满足稳定性的必要条件， 劳斯行列式：
例5.3 S5 S4 1 2
s 2s 2s 4s s 1 0
5 4 3 2
2 4

1 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
S3
S2
0
1

1 2 1
0
0
4 1 1 S 2



1
0
0
0
0
S0
0
系统不稳定，第一列元素两次变号，有两个正根在右 半平面。
特征根（Matlab:c=[1 2 2 4 1 1];roots(c) )
s s s s s
4 3
1 7
18 21
10 0 0
10 0
0 0
2 1 0
105 7 1715 105
10
劳斯行列式第一列全为正，因而系统是稳定的。
实际上该系统的4个根为：
s1 1.94, s2 2.76, s3, 4 1.15 0.73 j
例5.2
若一系统的特征方程为：
s 2s 3s 4s 5 0
2
可求出： s2 17, s 17 j ,
（振荡频率） n 17 。
G闭
K s 7 s 17 s K
3 2
？ 若要求闭环极点全部位于s = -1 (2)
垂线的左侧，求K的取值范围。
解：（2）令 s s'1 , 代入闭环特征方程：
( s'1) 7( s'1) 17( s'1) K 0,
1 2 5/
0
6 5
5/2
15
2

30 25 30 12 10
1 s 25 / 10
s
0
15
15
s1, 2 0.8284 1.5272j s3 -1.8423 s4,5 - 0.9073 1.3690j
系统有二个实部为正的特征根，系统是不稳定的。
2
求p(s)对s 的导数:
dP ( s )
8 s 96 s
3
ds 导数方程的系数代入s3 行。
例5.6
s s s s s s
5 4 3 2 1 0
1 2 0 ( 8) 24 112.7 50
24 48 0 ( 96) 50 0
25 50
可利用辅助方程求出那些大小相等，符号相反的根：
(1) 若使系统产生持续振荡，则必有一对共轭虚根存在。
系统的振荡频率就是此根的虚部值。
(2) 只要把虚部向左平移1，构成新的s’ 复平面: s s'1
用劳斯判据求出所有落在s’平面的根对应的K值。
G0 ( s )
K s( s 7 s 17 )
2
？

(1) 确定使闭环系统产生持续振荡 的K的取值，确定振荡频率。
4 3 2
利用劳斯稳定判据，判定系统是否稳定。 解：列写劳斯行列式：
符号改变一次 → 符号改变一次 →
s s s s s
4 3
1 2
3 4
5 0 0
5 0
0 0
2 1 0
1 6 5
该系统的特征方程式有两个实部为正的特征根， 系统不稳定。 系统的4个根为：
s1, 2 1.29 0.87 j , s3, 4 2.9 1.42 j
2
R(s)
K
Y(s)
﹣
s( s s 1)( s 2)
2
其闭环特征方程为： s 4 3 s 3 3 s 2 2 s K 0 1 3 K 解题思路： 劳斯行列式为： s
4
s s s s
3 2 1 0
3
7/3 2 (9 / 7) K K
2
K
0
1、列出闭环传递函数 2、写出闭环特征方程式 3、利用劳斯行列式判断
系统稳定的充分必要条件是系统特征根 （极点）全部具有负实部。
解析方法 － 求解系统的特征方程 高阶系统求解困难
劳斯稳定判据
5.1.2 劳斯(E. J. Routh)稳定判据
已知系统的特征方程式为：
a n s a n 1 s
n n 1
a1 s a0 0
(1) 系统特征方程式的系数必须皆为正 — 必要条件；
5.1 控制系统的稳定性分析