平行线动点问题模块一 课前检测【题1】将一块等腰直角三角板与一把直尺如图放置，若∠1=60°，则∠2的度数为 ．【题2】如图，AB ∥DE ，∠1＝25°，∠2＝110°，求∠BCD 的度数．【题3】如图AM ∥BN ，C 是BN 上一点，O 是射线CP 上的点，∠MAO 的平分线与∠OBN 的平分线交于点D ．（1）当点O 在AM 与BN 之间时，如图1所示，求证：∠D ＝12∠AOB ； （2）当点O 在AM 上方时，如图2所示，试判断（1）中的结论是否依然成立，给出结论，并对你给出的结论加以证明．模块二 动点与角度21E D C B A 21图1NM O A B C D P图2M N AB C ODP知识点睛变相考察平行线四大模型，依然遵循“逢拐作平行”原则．典型例题【例1】已知AB ∥CD ，线段EF 分别与AB 、CD 相交于E 、F ． （1）如图1，当∠A ＝20°，∠APC ＝70°时，求∠C 的度数； （1）如图2，当点P 在线段EF 上运动时（不包括E 、F 两点），∠A 、∠APC 与∠C 之间有怎样的数量关系？试证明你的结论；（3）如图3，当点P 在线段EF 的延长线上时，（2）中的结论还成立吗？如果成立，请说明理由；如果不成立，试探究它们之间新的数量关系并证明．【巩固】直线AB ∥CD ，直线a 分别交AB 、CD 于E 、F ，点M 在直线EF 上，点P 是直线CD 上的一个动点（点P 不与点F 重合）．（1）如图，当点P 在射线FC 上移动时，∠FMP +∠FPM 与∠AEF 有什么数量关系，请说明理由；图3图1图2A E B C F D P A E B C F D P A B C D P E F理由．【变式】如图，已知直线EF ∥MN ，点A 、B 分别为EF 、MN 上的动点，且∠ACB ＝90°，BD 平分∠CBN 交EF 于D ．（1）若∠FDB ＝120°，如图1，求∠MBC 的度数； （2）在（1）的条件下，如图1，求∠EAC 的度数；（3）延长AC 交直线MN 于G ，如图2，GH 平分∠AGB 交DB 于H ，问∠GHB 是否为定值，若是，请求其值；若不是，请说明理由．能力提升【例2】已知：如图，直线a ∥b ，直线c 与直线a 、b 分别相交于C 、D 两点，直线d 与直线a 、b 分别相交于A 、B 两点．（1）如图1，当点P 在线段AB 上（不与A 、B 重合）运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？请说明理由；（2）如图2，当点P 在线段AB 的延长线上运动时，∠1、∠2、∠3之间有怎样的大小关系？ 图1图2GHE MNF D A CBE F A B CD MN巅峰冲刺【巩固】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC +∠ACE ＝90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E ＝90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE ＝∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD 是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持不变，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外）∠CPQ +∠CQP 与∠BAC 有何数量关系？猜想结论并说明理由． 132132321Cc dAaP D图3B bCc d AaPD图2B b P d c baA B CD图1A B B A B A【变式】如图，已知AB ∥CD ，直线l 分别截AB 、CD 于E 、C 两点，M 是线段EC 上一动点（不与E 、C 重合），过M 点作MN ⊥CD 于N ，连结EN ．（1）如图1，当∠ECD ＝40°时，填空：∠FEB ＝ ；∠MEN +∠MNE ＝ ；（2）如图2，当∠ECD ＝α°时，猜想∠MEN +∠MNE 的度数与α的关系，并证明你的结论．A B E C ND A B C DE MN M模块三平行线与三角板知识点睛三角板有特殊的直角与直角顶点，通常该顶点与平行线结合会组成我们熟悉的平行线四大模型，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．典型例题【例3】将一副三角板如图所示位置摆放．（1）直接写出∠AOC与∠BOD的大小关系，不需证明；（2）图1中的三角板AOB不动，将三角板COD绕点O旋转至CO∥AB（如图2），判断DO与AB的位置关系，并证明；（3）在（2）的条件下，三角板COD绕点O旋转过程中，能否使CD⊥AB？若能，求此进∠AOC的度数；若不能，请说明理由．能力提升【巩固】小明将一直角三角板（∠A＝30°）放在如图所示的位置．（1）经测量知∠GEA＝∠A，求∠BDF；（2）将三角板进行适当的转动，直角顶点始终在两直线间，M在线段CD上，且∠CEM＝∠CEH，给出下列结论：①MEGBDF∠∠的值不变；②∠MEG－∠BDF的值不变．其中只有一个结论是正确的，请你做出正确的选择并求值．模块四动线段（动直线）与平行线知识点睛图形通常与平行线四大模型相结合，同样采取“逢拐作平行”的思路，将结论合理运用．典型例题【例4】如图，已知直线CB∥OA，∠C＝∠OAB＝100°，E、F在BC上，满足∠FOB＝∠AOB，OE平分∠COF．（1）求∠EOB的度数；（2）若平行移动AB，则OBCOFC∠∠的值是否发生变化？若变化找出变化规律；若不变求其值．E FC B能力提升【巩固】AB ∥CD ，点C 在点D 的右侧，∠ABC 、∠ADC 的平分线交于E （不与B 、D 重合）．∠ABC ＝n °，∠ADC ＝80°.（1）若点B 在点A 的左侧，求∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；（2）将（1）中的线段BC 沿DC 方向平移，当点B 移动到点A 右侧时，请画出图形并判断∠BED 的度数是否改变．若改变，请求出∠BED 的度数（用含n 的代数式表示）；若不变，请说明理由．模块五 真题链接【2014－2015洪山区期末】如图，长方形ABCD 在平面直角坐标系中，点A （1，8），B （1，6），C （7，6）．（1）请直接写出D 点的坐标 ；（2）连接线段OB 、OD ，OD 交BC 于E ，∠BOy 的平分线和∠BEO 的平分线交于F ，若∠BOE ＝n ，求∠OFE 的度数；（3）若长方形ABCD 以每秒32个单位的速度向下运动，设运动时间为t 秒，问在第一象限内是否存在某一时刻t ，使△OBD 的面积等于长方形ABCD 的面积？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．A B C DE课后作业【题1】如图，已知直线1l ∥2l ，直线3l 和直线1l 、2l 交于C 、D ，在C 、D 之间有一点P ．（1）如果P 点在C 、D 之间运动时，问∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系是否发生变化？ （2）若点P 在C 、D 两点的外侧运动时（不与C 、D 重合），试判断∠P AC 、∠APB 、∠PBD 之间的关系又是如何？【题2】如图，AB ∥CD ，P 为定点，E 、F 分别是AB 、CD 上的动点． l 3l 2l 1P A B C D（2）若M 为CD 上一点，MN 交PF 于N ．证明：∠PNM ＝∠NMF +∠NFM ；（不能用三角形内角和定理） （3）在（2）的基础上，若∠FMN ＝∠BEP ，试说明∠EPF 与∠PNM 的关系，并证明你的结论．平行线中三角形四边形模块一 课前检测【题1】如图1，CE 平分∠ACD ，AE 平分∠BAC ，∠EAC +∠ACE ＝90°. （1）请判断AB 与CD 的位置关系并说明理由；（2）如图2，当∠E ＝90°且AB 与CD 的位置关系保持不变，移动直角顶点E ，使∠MCE ＝∠ECD ，当直角顶点E 点移动时，问∠BAE 与∠MCD 是否存在确定的数量关系？并说明理由；（3）如图3，P 为线段AC 上一定点，点Q 为直线CD 上一动点且AB 与CD 的位置关系保持不变，当点Q 在射线CD 上运动时（点C 除外）∠CPQ +∠CQP 与∠BAC 有何数量关系？猜想结论并说明理由．A B C D MED C B A P D Q C BE A 图2图1图3图1图2NM B A E P F D C E F A B C D P模块二 利用三角形中的平行线求角知识点睛解题思路：利用平行线的相关性质（同位角、内错角相等、同旁内角互补），必要时结合三角形内角和为180°，但需旁证．典型例题【例1】如图，AE ∥BD ，∠CBD ＝57°，∠AEF ＝125°，求∠C 的度数．【巩固】如图，在△ABC 中，CD 平分∠ACB ，DE ∥AC ，∠B ＝70°，∠EDC ＝30°，求∠ADC 的度数．A B D C E F A C B DE能力提升【变式】如图所示，已知∠1+∠2＝180°，∠3＝∠B ，试判断∠AED 与∠C 的大小关系．321F GA B C D E。