数列与不等式测试题一、选择题：（本大题共12个小题，每小题5分；共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 不等式1x x>成立的一个充分不必要条件是（） A.x>0 B.x<0或x>1 C.x<0 D.0<x<12.在等比数列{}n a 中，121a a +=，349a a +=，那么45a a +等于（ ） A. 27 B.27- C. 8136-或 D. 2727-或3.数列1，0，2，0，3，…的通项公式为（ ）A. (1)2n n n n a --=B. (1)[1(1)]4n n n a +--=C. ()0()n n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数D. (1)[1(1)]4n n n a ---=4.用数学归纳法证明3*03(,)n n n N n n >∈≥，则0n 等于（ ） A. 1 B.2 C. 3 D. 45.已知数列{}n a 中，1a b =(b 为任意正整数)，11(1,2,3,)1n n a n a +=-=+，能使n a b = 的n 的数值是（ ）A. 14B.15C. 16D. 17 6.在等比数列{}n a 中，7116,a a =4145a a +=，则2010a a 等于（ ） A.23 B.32 C. 23或32 D. -23或-327. 已知{}n a 为等差数列,若π=++951a a a ,则28cos()a a +的值为( ).A.12 B. 12- C. 2 D. 2-8.数列{}n a 的通项为1(21)(21)n a n n =-+，前n 项和为919，则项数n 为（ ）A. 7B.8C. 9D. 10 9. 在等差数列{}n a 中，若9418,240,30n n S S a -===，则n 的值为( )A. 14B. 15C. 16D. 1710.已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，100S >并且110S =，若n k S S ≤对n N *∈恒成立，则正整数k 构成集合为 （ ）A ．{5}B ．{6}C ．{5,6}D ．{7}11.一个各项均为正数的等比数列，其任何项都等于它后面两项的和，则其公比是（ ）A.212-1212.若a 是12b +与12b -的等比中项，则22aba b+的最大值为（）A.12 B.4 C.5 D.2第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）13.公差不为0的等差数列{}n a 中，23711220a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则68b b = .14.如果关于x 的不等式1x a x x -<++的解集为R ，则a 的取值范围是 . 15．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15160,0S S ><,则11S a ，22Sa ，…，1515S a 中最大的是 。

16.设正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且存在正数t 使得对所有正整数n2nt a +=，通过归纳猜想可得到n S = .三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本题满分10分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意n N *∈，有,,n n n a S 成等差数列 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n na 的前n 项和n T18．（本题满分１２分）设0,1,a a >≠数列{}n a 的通项公式cos lg n n a n n a π=，前n 项和为n S ．试问是否存在常数p 、q 、r,使()22lg n S pn qn r a =++对所有n N +∈都成立？并证明你的结论． 19.（本题满分12分）已知01,01αβ<<<<，数列{}n x 与{}n y 由以下条件确定：11(,)(2,1)x y =，*11(,)(1,22),()n n n n x y x y n N ααββ++=+-+-∈回答下列问题：（1）求数列{}n x 与{}n y 的通项公式； （2）求lim n n x →∞，lim n n y →∞.20.（本题满分12分）设数列{}n a 满足111(1)2(1,2,3,)n n a na n a n +⎧=⎨=+-=⎩ 试求其通项. 21.（本题满分12分）已知数列{}n a 满足1a p =,21a p =+,21220n n n a a a n ++-+=-,其中p 是给定的实数,n 是正整数,试求n 的值,使n a 的值最小. 22.（本题满分12分）已知点 ),,(,),,2(),,1(2211n n y n B y B y B (∈n N *)顺次为直线1214+=x y 上的点,点)0,(),0,(2211x A x A ),0,(,n n x A (∈n N *)顺次为x 轴上的点,其中)10(1<<=a a x ,对任意的∈n N *,点n A 、n B 、1+n A 构成以n B 为顶点的等腰三角形.(Ⅰ)证明:数列{}n y 是等差数列;(Ⅱ)求证:对任意的∈n N *,n n x x -+2是常数,并求数列{}n x 的通项公式;(Ⅲ)在上述等腰三角形1+n n n A B A 中,是否存在直角三角形,若存在,求出此时a 的值;若不存在,请说明理由.数列与不等式专题参考答案1.提示：这是一道含绝对值的分式不等式。

其基本解法是去掉绝对值，然后，转化成分式不等式。

去掉绝对值常用的方法有三个：1）利用定义，讨论去掉绝对值；2）平方，即22x x =；3）利用公式()()()x f x f x x f x <⇔-<<。

本题作为一道选择题利用上述三种解法有小题大做的嫌疑。

可以利用函数图象，作出y x =，及1y x =的图像，可立得1x x>的解集为{01}x x x <>或，从而可得C. 答案：C2.提示：本题属等差、等比数列常规问题，基本解法是：用基本元表示题中两条件得关于1a 和q 的方程组，解得1a 和q 值，进而得45a a +的值为2727-或.常用解法是首先考虑数列性质，利用性质：“12233445,,,a a a a a a a a ++++为等比数列”更为简单. 答案：D3.提示：本题可用特殊与一般的思想，将3n =代入选项排除A 、C 、D. 答案：B4.提示：由题意不难发现，当n 取3时，33n n =.当4n ≥时，才总有33n n >，故04n =. 答案：D5.提示：数列是特殊的函数，又叫整标函数。

本题的实质是()()111f x f x +=-+，进而推得()()121f x f x +=--，()()3f x f x +=，为周期函数。

用函数的观点来看数列是高屋建瓴。

本题中{}n a 是以3为周期的周期数列，几个选项中只有161a a b ==. 答案：C6.提示：由711414,a a a a =∴414,a a 是方程2560t t -+=的两根，23t t ∴==或 即4144142,33,2a a a a ====或，又20141043223a a a a ==或. 答案：C7.提示：19285223a a a a a π+=+==，故2821cos()cos()32a a π+==-. 答案：B8.提示：本题考查裂项法求和.通过裂项得99.2119n n S n n ===+，解得 答案：C9.提示：等差数列求和公式应该理解成()()1122n k n k n n a a n a a S -+++==。

由918S =得，即5918a = 得52a =又15423032n n a a a a -+=+=+= 所以1()240,2n n n a a S +==得15n =.答案：B10.提示：由 100S >并且110S =，知6110,0a a =<，所以0d <故56S S =且最大. 又n k S S ≤对n N *∈恒成立，所以正整数k 构成集合为{5,6}. 答案：C11.提示：由题意，0n a >，12n n n a a a ++=+，又212n n n a a a ++=可得，211()n n n n a a a a ++=-解此方程得1n na a +=12-. 答案：D12.提示：在近几年高考中，特别是2008年第17题、2009年全国Ⅰ卷理科第16题，对于均值不等式的考查几乎形成了一个固定模式：将形如函数2ax y bx cx d =++变形成ay d bx c x=++的形式，然后利用不等式或函数性质来求解。

这类问题的难点在于变形上，很多问题很隐蔽。

因为a 是12b +与12b -的等比中项，则2214a b =-，故22144a b ab =+≥，14ab ∴≤。

22ab a b +≤==。

11,44ab ab ≤∴≥，∴22aba b +≤4 答案：B13.提示：由. 23711220a a a -+=得27740a a -=， 所以74a =或70a =，又数列{}n b 是等比数列，且77b a =。

故70a ≠，只有74a =，2226877416b b b a ====. 答案：1614.提示:数形结合. 不等式1x a x x -<++的解集为R ,等价于函数y x a =-的图象全在函数1y x x =++图象的下方. 答案:10.a -<<15.提示：由158150S a =>，知80a >，再由89161602a a S +=⨯<知90a <． 所以，当915n ≤≤时，0n n S a <，当18n ≤≤时，0n nSa >。

且由1281280,a a a S S S >>>><<,知88S a 最大。

答案：88S a ． 16.关于递推数列考纲说的很清楚，“了解递推数列是给出数列的一种方式，会由数列的递推式求数列的前几项”，进而，数列的基本思想是归纳推理，得出数列前几项后，归纳得出数列的一个通项公式，这是考纲中的考试要求，也是这类问题的基本解法！提示：由11S a =，求得1S t =，由22a S t =-求得24S t =，由334a S t =-求得39S t =或3S t =.又因0,n a >所以313,9S S S t >∴=.由此猜想n S =2tn . 答案：2tn17提示：这道题有三个重点必须掌握，这三个重点都是高考必考的内容：①n a 与n S 的关系问题是数列中的一个重点，也是一个热点。