数列与不等式压轴大题练习题和详细分析解答（1）1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ；（2）证明：1122331111ln(1)n nn a T a T a T a T ++++<+.2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =； ②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列.4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d <<5．已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.7．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.8．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，nn b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-.9．已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）. （1）证明：112nn a a +<≤（n ∈*N ）； （2）设数列{}2n a 的前项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n <≤++（n ∈*N ）.数列与不等式压轴练习题和详细分析解答（1）1．已知数列{}n a 的前n 项积为n T ，{}n T 为等差数列，且1324a T ==，. （1）求n a ；（2）证明：1122331111ln(1)n nn a T a T a T a T ++++<+. 【答案】（1）1,()n a n n N n*+=∈（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由等差数列求出n T ，根据12n n T a a a =即可求出n a ；（2）由（1）可得211(1)1n n n a T n n =<++，构造函数1()ln 1g x x x=--，利用导数证明1ln1x x >-，即可得11ln ln(1)ln 1n n n n n +⎛⎫<=+- ⎪+⎝⎭，利用裂项相消法即可得证. 【详解】（1）由题意，112T a ==，34T =，且{}n T 为等差数列， 所以312T T d =+，即422d =+ 解得1d =，所以1n T n =+， 因为12n n T a a a =，1121(2)n n T a a a n --=≥，所以11(2)n n n T n a n T n-+==≥， 12a =时，也适合1+=n n a n， 故1,()n a n n N n*+=∈ （2）由（1）知，211(1)1n n n a T n n =<++， 下面证明11ln 1n n n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭， 令11,0,12x x n ⎛⎤=∈ ⎥+⎝⎦，则11n x =-， 令1()ln 1g x x x=-- 则()1x g x x '=-，当10,2x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()0g x '>， 所以()g x 在10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，所以()(0)0g x g >=，即1ln1x x>- 所以11ln 1n n n +⎛⎫< ⎪+⎝⎭所以1122331111ln(1)ln ln ln(1)ln 2ln1n nn n n n a T a T a T a T +++⋯+<+-+--+⋯+-， 即1133221111ln(1)n nn a T a T a T a T +++⋯+<+ 【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式，由递推公式求数列的通项，裂项相消法求和，构造函数利用导数证明不等式，考查了推理能力，运算能力，属于难题.2．已知数列{}n a 满足11a =，点()11,1n n a a +++在直线2y x =上.数列{}n c 满足11c a =，121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+（2n ≥且n *∈N ）. （1）求{}n a 的通项公式；（2）（i ）求证：111n nn n c a c a +++=（2n ≥且n N ∈）； （ii ）求证：2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【答案】(1) 21nn a =-;(2)证明见解析【解析】 【分析】(1)将()11,1n n a a +++代入2y x =,构造等比数列即可.(2)(i)由121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+可得11n n c a ++的关系,再化简证明111n n n n n c c a a a ++=+即可. (ii)利用(i)中111n n n n c a c a +++=,在23111111n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭中构造对应等式再换元.最后即求证121111153n n a a a a -++⋅⋅⋅++<,代入21n n a =-再利用等比放缩法证明即可. 【详解】(1) 将()11,1n n a a +++代入2y x =有()1121n n a a ++=+,故数列{}1n a +是以112a +=为首项,2为公比的等比数列.所以12nn a +=,即21n n a =-(2) (i)证明：因为121111n n n c a a a a -=++⋅⋅⋅+,故1112111111n n n n n n nc c a a a a a a a ++-=++⋅⋅⋅++=+. 即111n n n nc c a a +++=,故()111n n n n a c a c +++=⋅即111n n n n c ac a +++=（2n ≥且n N ∈）.证毕. (ii)由题111c a ==,22111c a a ==,又22213a =-=,故223c a ==.当2n ≥时111n n n n c ac a +++=.故322323*********n n n c c c c c c c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++⋅⋅⋅+=⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 331122112234134111111111=33n n n n n n n n n n c c a a c c c a c c a c c c c a a a a a ++++++++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1211211111111121212121n n n n a a a a --=++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++----. 即证明12111115212121213n n-++⋅⋅⋅++<----. 先证明21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈ , 即证当()2,n n N+≥∈时2211132212132n n nn --≤⋅⇔⋅≤-⇔-2223242121n n n ---⋅≤⨯-⇔≥显然成立.故21112132nn -≤⋅-()2,n n N +≥∈. 所以121121111111111 (2121212133232)n n n --++⋅⋅⋅++≤++⋅++⋅---- 11111132215215111132332312n n n ---⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎡⎤⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+=+-=-⋅<⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦-成立. 即2311151113n c c c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅+<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.证毕 【点睛】本题主要考查了构造等比数列求数列通项公式的方法,同时也考查了数列的证明以及根据所给不等式利用等比放缩的方法求证数列不等式的问题,其中证明21112132nn -≤⋅-是关键.属于难题.3．已知{}n a 是无穷数列．给出两个性质：①对于{}n a 中任意两项,()i j a a i j >，在{}n a 中都存在一项m a ，使2i m ja a a =；②对于{}n a 中任意项(3)n a n ，在{}n a 中都存在两项,()k l a a k l >．使得2kn la a a =．(Ⅰ)若(1,2,)n a n n ==，判断数列{}n a 是否满足性质①，说明理由；(Ⅱ)若12(1,2,)n n a n -==，判断数列{}n a 是否同时满足性质①和性质②，说明理由；(Ⅲ)若{}n a 是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：{}n a 为等比数列. 【答案】(Ⅰ)详见解析；(Ⅱ)详解解析；(Ⅲ)证明详见解析. 【解析】 【分析】(Ⅰ)根据定义验证，即可判断； (Ⅱ)根据定义逐一验证，即可判断；(Ⅲ)解法一：首先，证明数列中的项数同号，然后证明2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列即可.解法二：首先假设数列中的项数均为正数，然后证得123,,a a a 成等比数列，之后证得1234,,,a a a a 成等比数列，同理即可证得数列为等比数列，从而命题得证.【详解】 (Ⅰ){}2323292,3,2n a a a a Z a ===∉∴不具有性质①；(Ⅱ){}22*(2)1*2,,,2,2i j i i i j n j ja a i j N i j i j N a a a a ---∀∈>=-∈∴=∴具有性质①；{}2*(2)11,3,1,2,22,k l n k n n la n N n k n l a n a a ---∀∈≥∃=-=-===∴具有性质②；(Ⅲ)【解法一】首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：显然()0*n a n N ≠∉，假设数列中存在负项，设{}0max |0n N n a =<， 第一种情况：若01N =，即01230a a a a <<<<<，由①可知：存在1m ，满足12210m a a a =<，存在2m ，满足22310m a a a =<， 由01N =可知223211a a a a =，从而23a a =，与数列的单调性矛盾，假设不成立. 第二种情况：若02N ≥，由①知存在实数m ，满足0210Nm a a a =<，由0N 的定义可知：0m N ≤， 另一方面，000221NNm N N a a a a a a =>=，由数列的单调性可知：0m N >，这与0N 的定义矛盾，假设不成立. 同理可证得数列中的项数恒为负数. 综上可得，数列中的项数同号.其次，证明2231a a a =：利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：假设数列{}n a 的前()3k k ≥项成等比数列，不妨设()111s s a a q s k -=≤≤，其中10,1a q >>，（10,01a q <<<的情况类似）由①可得：存在整数m ，满足211k km k k a a a q a a -==>，且11k m k a a q a +=≥（*） 由②得：存在s t >，满足：21s s k s s t ta aa a a a a +==⋅>，由数列的单调性可知：1t s k <≤+，由()111s s a a qs k -=≤≤可得：2211111s t k s k k ta a a q a a q a ---+==>=（**）由（**）和（*）式可得：211111ks t k a q a qa q ---≥>，结合数列的单调性有：211k s t k ≥-->-， 注意到,,s t k 均为整数，故21k s t =--， 代入（**）式，从而11kk a a q +=.总上可得，数列{}n a 的通项公式为：11n n a a q -=.即数列{}n a 为等比数列. 【解法二】假设数列中的项数均为正数：首先利用性质②：取3n =，此时()23kla a k l a =>，由数列的单调性可知0k l a a >>， 而3kk k la a a a a =⋅>，故3k <， 此时必有2,1k l ==，即2231a a a =，即123,,a a a 成等比数列，不妨设()22131,1a a q a a qq ==>，然后利用性质①：取3,2i j ==，则224331121m a a q a a q a a q ===， 即数列中必然存在一项的值为31a q ，下面我们来证明341a a q =，否则，由数列的单调性可知341a a q <，在性质②中，取4n =，则24k k k k l l a aa a a a a ==>，从而4k <， 与前面类似的可知则存在{}{}(),1,2,3k l k l ⊆>，满足24kla a a =，若3,2k l ==，则：2341kla a a q a ==，与假设矛盾； 若3,1k l ==，则：243411kla a a q a q a ==>，与假设矛盾； 若2,1k l ==，则：22413kla a a q a a ===，与数列的单调性矛盾； 即不存在满足题意的正整数,k l ，可见341a a q <不成立，从而341a a q =，同理可得：455161,,a a q a a q ==，从而数列{}n a 为等比数列，同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数. 从而题中的结论得证，数列{}n a 为等比数列. 【点睛】本题主要考查数列的综合运用，等比数列的证明，数列性质的应用，数学归纳法与推理方法、不等式的性质的综合运用等知识，意在考查学生的转化能力和推理能力.4．设数列{}n a 的前n 项的积为n T ，满足1n n T a =-，*N n ∈，记22212n n S T T T =++⋅⋅⋅+（1）证明：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列； （2）记1n n n d a S +=-，证明：1132n d << 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】 【分析】（1）先令n=1求出首项，再由前n 项的积的定义表示1111n n na a a ++-=-，进而整理化简，再由等差数列定义得证；（2）由（1）表示数列{}n a 的通项公式，进而由放缩法放缩2n T ，再由裂项相消法求n S ，最后再放缩不等式得证. 【详解】解析：（1）因为1n n T a =-，所以111a a =-，解得112a =. 由题可知11111n n n n nT a a T a +++-==-， 所以11111n n n a a a ++=--，即()1111111n n na a a ++--=--，则111111n n a a +-=--. 所以11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是公差为1的等差数列，且首项1121a =-.（2）由（1）可知()1121111111n nn nn n a a a n n =+-⋅=+⇒-=⇒=-++，则111n n T a n =-=+. 首先，()()()22111112121n T n n n n n =>=-+++++. 所以222111111111123341222n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+>-+-+⋅⋅⋅+-=-⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 又112n n a n ++=+，所以111112222n n n n d a S n n ++=-<+-=++. 其次，()()2221111112113212311422n T n n n n n n ⎛⎫=<=-=- ⎪++⎝⎭++-++. 所以2221111111111222235572123323n n S T T T n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++⋅⋅⋅+<-+-+⋅⋅⋅+-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.所以111112212232322433n n n n n d a S n n n n +++⎛⎫=->-->+-= ⎪++++⎝⎭. 综上所述：1132n d <<. 【点睛】本题考查由已知递推关系证明等差数列，还考查了由放缩法证明数列不等式以及裂项相消法求和，属于难题. 5．已知等差数列{}n a 的公差为1-，前n 项和为n S ，且27126a a a ++=-． （1）求数列{}n a 的通项公式n a 与前n 项和n S ；（2）将数列{}n a 的前四项抽取其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列{}n b 的前三项，记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，若存在m *∈N ，使得对任意n *∈N ，总有n m S λ<T +成立，求实数λ的取值范围．【答案】（1）5n a n =-，2922n n n S =-（2）29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】试题分析：（1）求等差数列通项公式，一般利用待定系数法，本题已知公差，因此只需确定一项即可：由27126a a a ++=-利用等差数列性质得736a =-，72a =-，再根据等差数列广义通项公式得：()77275n a a n d n n =+-=--+=-，最后利用等差数列和项公式求前n 项和n S ，（2）先根据题意确定数列{}n a 的前四项抽取的是哪一项，再根据剩下三项，利用待定系数法求等比数列{}n b 通项，然后利用错位相减法求数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，对存在性问题及恒成立问题，一般转化为对应函数最值问题：()()max max n m S T λ<+，n S 为二次函数，可根据对称轴求其最大值，需注意n *∈N ，而n T 的最值，需根据数列单调性确定. 试题解析： 解：（1）{}n a 为等差数列，且27126a a a ++=-，∴736a =-，即72a =-，又公差1d =-，∴()77275n a a n d n n =+-=--+=-，n *∈N ．()()214592222n n n a a n n n n S ++-===-，n *∈N ． （2）由（1）知数列{}n a 的前4项为4，3，2，1，∴等比数列{}n b 的前3项为4，2，1， ∴，∴()11452n n n a b n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，∴()()01211111443652222n n n T n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，① ∴()()121111114436522222n nn T n n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯++-⨯+-⨯⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，② ①-②得()12111111444522222n nn T n -⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+++--⨯⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()111212111645122612212n n n n n --⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎣⎦=---⨯=+-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-． ∴()11244122n n T n -⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ．∴()11214112412204222n n n n n n n nT T ---------=-=， ∴12345T T T T T <<<=，且56n T T >>>T ，∴*n ∈N 时，()45max 492n T T T ===． 又2922n n n S =-，∴*n ∈N 时，()45max 10n S S S ===，存在*m ∈N ，使得对任意*n ∈N ，总有n m S T λ<+成立．∴()()max max n m S T λ<+，∴49102λ<+，∴实数λ的取值范围为29,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭．考点：等差数列通项及求和，错位相减法求和 【名师点睛】一般地，如果数列{a n }是等差数列，{b n }是等比数列，求数列{a n ·b n }的前n 项和时，可采用错位相减法．用错位相减法求和时，应注意：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形更值得注意．(2)在写出“S n ”和“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便于下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()13a a a =≠，13n n n a S +=+，设3n n n b S =-，*n ∈N .（Ⅰ）求证：数列{}n b 是等比数列；（Ⅱ）若1n n a a +≥，*n ∈N ，求实数a 的最小值；（Ⅲ）当4a =时，给出一个新数列{}n e ，其中3,1,2n n n e b n =⎧=⎨≥⎩，设这个新数列的前n 项和为n C ，若n C 可以写成p t （t ，*p ∈N 且1t >，1p >）的形式，则称n C 为“指数型和”.问{}n C 中的项是否存在“指数型和”，若存在，求出所有“指数型和”；若不存在，请说明理由.【答案】（I ）详见解析；（II ）9-；（III ）3C 为指数型和. 【解析】 【分析】（I ）通过计算证明证得12n nb b +=，来证得数列{}n b 是等比数列. （II ）利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得数列{}n a 的通项公式，由1n n a a +≥，10n n a a +-≥，求得a 的最小值.（III ）先求得{}n C 的通项公式，对p 分成偶数和奇数两种情况进行分类讨论，根据“指数型和”的定义，求出符合题意的“指数型和”. 【详解】（I ）13n n n a S +=+，*11323,n n n n n n n S S S S S n N ++-=+⇒=+∈.由于3nn n b S =-，当3a ≠时，11113233233n n n n n n n n n n n b S S b S S ++++-+-===--，所以数列{}n b 是等比数列.1133b S a =-=-，()132n n b a -=-⨯.（II ）由（I ）得()1332nn n n b S a -=-=-⨯，()1332nn n S a -=+-⨯()12*12332,2,n n n n n a S S a n n N ---=-=⨯+-⨯≥∈，所以()12,12332,2n n n a n a a n --=⎧=⎨⨯+-⨯≥⎩.因为1n n a a +≥，213a a a a =+>=.当2n ≥时， ()122332n n n a a --=⨯+-⨯，()112332n n n a a -+=⨯+-⨯，而1n n a a +≥，所以10n n a a +-≥，即()()12123322332n n n n a a ---⎡⎤⨯+-⨯-⨯+-⨯⎣⎦()1243320n n a --=⨯+-⨯≥，化简得11243338322n n n a ----⨯⎛⎫≥+=-⨯+ ⎪⎝⎭，由于当2n ≥时，13832n -⎛⎫-⨯+ ⎪⎝⎭单调递减，最大值为2138312392-⎛⎫-⨯+=-+=- ⎪⎝⎭，所以9a ≥-，又3a ≠，所以a 的最小值为9-.（III ）由（I ）当4a =时，12n n b -=，当2n ≥时，()1212324232112n nn n C +⨯-=++++=+=+-.13C =也符合上式，所以对正整数n 都有21n n C =+.由21,12p n p n t t =+-=，（*,t p N ∈且1,1t p >>），t 只能是不小于3的奇数.①当p 为偶数时，221112p ppnt t t ⎛⎫⎛⎫-=+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由于21p t +和21p t -都是大于1的正整数，所以存在正整数,g h ，使得2212,12p pg h t t +=-=，()222,2212g h h g h--=-=，所以22h =，且2121,2g hh g --=⇒==，相应的3n =，即有233C =，3C 为“指数型和”；②当p 为奇数时，()()21111pp t t t t t --=-++++，由于211p t t t -++++是p 个奇数之和，仍为奇数，又1t -为正偶数，所以()()21112p n t t t t --++++=不成立，此时没“指数型和”.综上所述，{}n C 中的项存在“指数型和”，为3C . 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查新定义的理解和运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 7．给定常数0c >，定义函数()24f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由. 【答案】见解析 【解析】（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()242a f a a c a c ==++-+=，3122()2410a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立，()24f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明24+x c x c x c ++≥++若0x c +≤，显然有24+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则24+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a > 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()248a f a a c a c a c ==++-+=++， 即111248a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11448a c a c ++=⇒=--， 此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是{}[,)8c c -+∞⋃--． 【考点定位】考查数列与函数的综合应用，属难题．8．已知数列{}n a 与{}n b 满足()112n n n n a a b b ++-=-，n *∈N . （1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a >（n *∈N ），求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设10a λ=<，nn b λ=（n *∈N ），求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2mM∈-. 【答案】（1）65n a n =-（2）详见解析（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】 【详解】（1）由13n n b b +-=，得16n n a a +-=，所以{}n a 是首项为1，公差为6的等差数列， 故{}n a 的通项公式为65n a n =-，n *∈N .（2）由()112n n n n a a b b ++-=-，得1122n n n n a b a b ++-=-.所以{}2n n a b -为常数列，1122n n a b a b -=-，即1122n n a b a b =+-. 因为0n n a a ≥，n *∈N ，所以011112222n n b a b b a b +-≥+-，即0n n b b ≥. 故{}n b 的第0n 项是最大项.（3）因为nn b λ=，所以()112n n n n a a λλ++-=-，当2n ≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋅⋅⋅+-+()()()1122222n n n n λλλλλλλ---=-+-+⋅⋅⋅+-+ 2n λλ=-.当1n =时，1a λ=，符合上式.所以2nn a λλ=-.因为0λ>，所以222nn a λλλ=->-，21212n n a λλλ--=-<-.①当1λ<-时，由指数函数的单调性知，{}n a 不存在最大、最小值； ②当1λ=-时，{}n a 的最大值为3，最小值为1-，而()32,21∉--； ③当10λ-<<时，由指数函数的单调性知，{}n a 的最大值222a λλM ==-，最小值1m a λ==，由2222λλλ--<<及10λ-<<，得102λ-<<.综上，λ的取值范围是1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.9．已知数列{}n a 满足1a =12且1n a +=n a -2n a （n ∈*N ）. （1）证明：112nn a a +<≤（n ∈*N ）；（2）设数列{}2n a 的前项和为n S ，证明112(2)2(1)n S n n n <≤++（n ∈*N ）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据递推公式可得12n a ≤，再由递推公式变形可知 (]2111,21n n n n n n a a a a a a +==∈--，从而得证；（2）由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n n a a +<-≤，从而可得*111()2(1)2n a n N n n +<≤∈++，即可得证. 【详解】（1）由题意得，210n n n a a a +-=-≤，即1n n a a +≤，12n a ≤， 由11(1)n n n a a a --=-，得1211(1)(1)(1)0n n n a a a a a --=--⋅⋅⋅->， 由102n a <≤得，(]2111,21n n n n n n a a a a a a +==∈--， 即112n n a a +<≤； （2）由题意得21n n n a a a +=-，∴11n n S a a +=-①，由1111=n n n n a a a a ++-和112n n a a +<≤，得11112n na a +<-≤， ∴11112n n n a a +<-≤， 因此*111()2(1)2n a n N n n +<≤∈++②， 由①②得112(2)2(1)n S n n n <≤++.考点：数列与不等式结合综合题.。