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2．做一做
(1)数列{an}的前
5
n
项和为
Sn，若
an＝nn1＋1，则
S5＝
____6____.
(2)设数列{an}是首项为 1，公比为－2 的等比数列，则
a1＋|(a32)|＋12＋a324＋＋|a384＋|＝…__＋_1_2n5_n等__于_. __2_－__2_＋2__nn___．
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探究 1 分组求和法求和 例 1 已知数列{cn}：112，214，318，…，试求{cn}的前 n 项和．
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解 令{cn}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋41＋18＋…＋12n ＝nn＋2 1＋1211－－1212n＝nn＋2 1＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
□ 和即可用 07 倒序相加法
□ ，如 08 等差 数列的
前 n 项和即是用此法推导的．
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□ 3．错位相减法
如果一个数列的各项是由一个 09 等差 数列和一个
□ □ 10 等比 数列的对应项之 11 积 构成的，那么这个数列 □ 的前 n 项和即可用此法来求，如 12 等比 数列的前 n 项
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解 an＝13(10n－1)． ∴Sn＝13(10－1)＋13(102－1)＋…＋13(10n－1)
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＝13(10＋102＋…＋10n)－n3 ＝13×1011－－1100n－n3＝2170(10n－1)－n3.
2
.
□05 nn＋12n＋1
12＋22＋32＋…＋n2＝
6
.
□ 13＋23＋33＋…＋n3＝
06
nn＋12
2
.
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2．倒序相加法
如果一个数列{an}的前 n 项中与首末两端等“距离”的
两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项
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解 (1)设数列{an}的公比为 q. 由 a23＝9a2a6，得 a23＝9a24，所以 q2＝19. 由条件可知 q>0，故 q＝13. 由 2a1＋3a2＝1 得 2a1＋3a1q＝1，所以 a1＝13. 故数列{an}的通项公式为 an＝31n.
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(4)(教材改编 P61 习题 2.5A 组 T4(1))1＋1＋12＋1＋12＋14 ＋…＋1＋12＋41＋…＋2110的值为__2_0_＋__2_11_0___．
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和就是用此法推导的．
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4．裂项相消法
□ 把数列的通项拆成两项之 13 差 ，在求和时中间的
一些项可以相互抵消，从而求得其和． 5．分组求和法 若一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数
□ 列或可求和的数列组成，则求和时可用 14 分组求和法 ，
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拓展提升 当一个数列本身不是等差数列也不是等比数列，但如果 它的通项公式可以拆分为几项的和，而这些项又构成等差数 列或等比数列，那么就可以用分组求和法，即原数列的前 n 项和等于拆分成的每个数列前 n 项和的和．
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分别求和后再相加减．
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6．并项求和法
□一个数列的前 n 项和，可两两结合求解，则称之为
15 并项求和．
形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两
项合并求解．
例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.
总之，在求数列的前 n 项和时，应先考查其通项公式，
根据通项公式的特点，再来确定选用何种求和方法．数列求
和的实质就是一个代数式(或超越式)的化简问题．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果已知等差数列的通项公式，则在求其前 n 项和时 使用公式 Sn＝na1＋2 an较为合理．( √ ) (2)如果数列{an}为等比数列，且公比不等于 1，则其前 n 项和 Sn＝a11－－aqn＋1.( √ )
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第二章 数列
2．5 等比数列的前n项和 第2课时 数列求和习题课
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1.公式法
直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和
□ (1)等差数列的前
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(3)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.( √ ) (4)求 Sn＝a＋2a2＋3a3＋…＋nan 之和时只要把上式等 号两边同时乘以 a 即可根据错位相减法求得．( × )
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Sn＝na1＋2 an＝
n
项和公式
01 na1＋nn2－1d
；
(2)等比数列的前 n 项和公式
□ □ Sn＝a0112－－naqan1q，＝q0＝31a，111－－qqn，q≠1.
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(3)自然数的和、平方和、立方和
□04 nn＋1
1＋2＋3＋…＋n＝
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探究 2 裂项相消法求和
例 2 等比数列{an}的各项均为正数，且 2a1＋3a2＝1， a23＝9a2a6.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设 bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，求数列b1n的前 n 项和．