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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在等差数列{an}中，若 m＋n＝r，m，n，r∈N*，则 am＋an＝ar.( × ) (2)若数列{an}是等差数列，则 a1，a3，a5，a7，a9 是等 差数列．( √ ) (3)两个等差数列的和仍是等差数列．( √ )
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【跟踪训练 1】 (1)已知{an}为等差数列，a4＋a7＋a10
＝30，则 a3－2a5 的值为( )
A．10
B．－10
C．15
D．－15
(2)等差数列{an}中，已知 a2＋a3＋a10＋a11＝36，则 a5
＋a8＝___1_8____.
(3)若等差数列{an}中，a5＝a，a10＝b，则 a15＝__2_b_－__a__.
解析 (1)∵数列{an}为等差数列， ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝(a1＋a5)＋(a2＋a4)＋a2＋2 a4＝52 (a2＋a4)＝52×6＝15.
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解析 (1)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝30，∴a7＝10， 而 a3－2a5＝a3－(a3＋a7)＝－a7＝－10. (2)解法一：根据题意，有 (a1＋d)＋(a1＋2d)＋(a1＋9d)＋(a1＋10d)＝36， ∴4a1＋22d＝36，则 2a1＋11d＝18. 而 a5＋a8＝(a1＋4d)＋(a1＋7d)＝2a1＋11d，因此，a5＋ a8＝18. 解法二：根据等差数列性质，可得 a5＋a8＝a3＋a10＝a2 ＋a11＝36÷2＝18.
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2．做一做
(1)(教材改编 P39T5)已知等差数列{an}中，a2＋a4＝6，则
a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝( )
A．30
B．15
C．5 6
D．10 6
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(2)在等差数列{an}中，a3＝2，公差 d＝－1，则 a10＝ ___－__5___.
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探究2 灵活设项求解等差数列 例 2 (1)三个数成等差数列，它们的和为 21，它们的 平方和为 155，求这三个数； (2)已知四个数成等差数列，它们的和为 28，中间两项 的积为 40，求这四个数．
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解 (1)设这三个数为 a－d，a，a＋d. 则aa－－dd＋2＋a＋a2a＋＋da＝＋2d12，＝155， 解得ad＝ ＝72， 或ad＝ ＝7－，2， ∴这三个数为 5,7,9 或 9,7,5.
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第二章 数列
2．2 等差数列 第2课时 等差数列的性质
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1.等差数列的性质
(1)等差数列通项公式的推广
通项公式
通项公式的推广
an＝a1＋(n－1)d (揭示首末两项的关系)
解法二：因为 a1＋3a8＋a15＝5a8＝120，所以 a8＝24， 而 2a9－a10＝a10＋a8－a10＝a8＝24.
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[变式探究] 若本例中条件不变，求 a3＋a13 的值又如 何？
解 由例题解知，a8＝24，由等差数列的性质知 a3＋a13 ＝2a8＝48.
列，则数列{pan＋qbn}(p，q 是常数)是公差为 08 pd1＋qd2 的
等差数列．
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□ (3)等差数列{an}中每隔相同的项抽出来的项按照原来
的顺序排列，构成的新数列仍然是 09 等差数列．
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拓展提升 等差数列性质的应用技巧
(1)适用情景 已知等差数列的两项和，求其余几项和或者求其中某 项． (2)常用性质 利用已知 m，n，p，q∈N*，若 m＋n＝p＋q，则 am＋ an＝ap＋aq 或若 m＋n＝2r，则 am＋an＝2ar 将题目条件转化．
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探究1 等差数列的性质应用
例 1 等差数列{an}中，a1＋3a8＋a15＝120，则 2a9－a10 的值是( )
A．20
B．22
C．24
D．－8
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课后课＋a15＝120，可得 5a1＋35d ＝120，即 a1＋7d＝24，又 2a9－a10＝a1＋7d，所以 2a9－a10 ＝24.
①{c＋an}(c 为任一常数)是公差为 05 d 的等差数列．
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□ ②{can}(c 为任一常数)是公差为 06 cd
③{an＋an＋k}(k 为常数，k∈N*)是公差为 差数列．
的等差数列．
□07 2d 的等
□ (2)若数列{an}，数列{bn}分别是公差为 d1，d2 的等差数
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②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和
□ 等于首末两项的和，即 a1＋an＝a2＋ 03 an－1 ＝…＝ak＋ □04 an－k＋1 ＝….
2．等差数列的常用结论
□ (1)若数列{an}是公差为 d 的等差数列，则下列数列：
an＝am＋(n－m)d (揭示任意两项之间的关系)
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(2)等差数列项的运算性质
□若 m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则 am＋an＝
01 ap＋aq .
□①特别地，当 m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝
02 2ak .