a 、a 、n、d知 •所 aaa234===以设aaaa2有一123-aaa+++a：个234ddd1---==,等…aaad=（123,差a(===aa3数-ddd11a++,,,列22d=d){d）a+,an}d+4(+∴的-daa…==3首12a=a-a项以通dan1+1+,-+1是(a3…用过)a2d+1的adna观=(1-,1系a(an与公察n3n数-差--d：a11有)是表2)a=)dd2什+示(，,n(则么出a-有a14特来-3)：，ad点；3a)？a4都1与可d 三求一 an=ana-1a+n(-1n=-d1)d 即an=当an1=+1时(n，-1上)式d 也成立。
a1=3,d=7-3=4,
∴这个数列的通项公式是：
∴∴这aaa个4n1==0=4a数41×+×列(41n-的0-11-=通)11d=5项=3,49公n.-式1 是：a=n∴n7==1n120-0+257不(/(n7n是≥-1这1))个令N×数107列2=的7n项-5。,得
例题
例2 在等差数列{an}中，已知a5=10,a12=31, 求首项a1与公差d .
同特10点072?，10144，10216，10与288前，1一0360项. 的差是7④2。
等差数列的定义
• 一般地，如果一个数列{an},从第2项起每一
项与它的前一项的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等 差数列的公差。公差通常用字母 d 表示。
那么对于以上四组等差数列，它们的公差 依次是5，5，-2.5，72。
请同学们思 10.5，8，5.5.
③
我国现行储蓄制度规定银行支付存款利息的方式为单利，即不把利
考，这四个 息加入本金计算下一期的利息。按照单利计算本利和的公式是：本利和=
数列有何共 本金×(1+利率×存期)。例如，按活期存入10000元钱，年利率是0.72%，
那么按照单利，5年内各年末的本从利和第（单二位项：元起），组成后一个一数项列：
pn q ( pn p q) p 为常数
∴{ a n }是等差数列 首项 a1 p q ，公差为 p。
例
4、已知数列{an}满足a1

4且an

4

4 an1
(n
1). 记bn

1 an
2
（Ⅰ）求证：数列{bn}是等差数列 ；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式
例 5、 an

3

an1 an1

1
,
a1
1 求数列
an
的通项公式.
解：取倒数： 1 3 an1 1 3 1 则 1 1 3
an
an1
an1 an an1


1 an

是等差数列，
1 an

1 a1
(n 1) 3
1 (n 1) 3
及数学表达式： an+1-an=d(n≥1且n∈N*);
• 其次要会推导等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d( n≥1) . • 本课时的重点是通项公式的灵活应用,知道an,a1,d,n中任
意三个，应用方程的思想，可以求出另外一个。
思考题：
已知等差数列{an}中，am、公差d 是常数，试求出
等价变形： a1=an- (n-1)d d=(an-a1)/ (n-1) n=(an-a1)/d+1
思考:
等差数列
an=a1 +(n-1)d am=? am=a1 +(m-1)d am-an =? am-an =(m-n) d am=an +(m-n) d
d=am-an /(m-n)
an的值。
分析：本题是一个含有字母的计算题，做题时必须 将am ,d 看成是常数.
解：设等差数列{an}的首项是a1，依题意可得：
am=a1+(m-1)d
①
an=a1+(n-1)d
②
②- ①得：an-am=a1+ ( n – 1 )d-[a1+(m-1)d]=(n-m)d
∴an=am +(n-m)d
复习回顾
数列的定义，通项公式，递推公式
按一定次序排成的一列数叫做数列。
一般写成a1,a2,a3,…,an,…，简记为{an}。
如果数列{an}的第n项an与n的关系可以用一个公式来表示，
那么这个公式就叫做这个数列的通项公式。
如果已知数列{an}的第1项(或前几项），且任一项 an与它的前一项a n-1(或前几项）间的关系可以用一
水库的管理人员为了保证优质鱼类有良好的生活环境，用定期放水清
库的办法清理水库中的杂鱼。如果一个从水第库的二水项位为起1，8m，后自一然放项水与每天
水作位的降那低天，2.水5m库，每最天低的降水至位5m组。成那数么列从（开前单始一位放：水项m算）的起：，差到是18可，-以12进5..5行5。，清1理3，工
定义的符号表示是：
an - an-1=d(n≥2,n∈N*),
这就是数列的递推公式。
数列{an}为等差数列 an+1-an=d 或an+1=an+d
练习一
判断下列各组数列中哪些是等差数列，哪些不是？ 如果是，写出首项a1和公差d, 如果不是，说明理 由。
（1）1，3，5，7，… 是 a1=1,d=2
解：由题意得：ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 a1 4d 10 a12 a1 11d 31
这是一个以a1和d 为未知数的二元一次方程组，
解之得：

a1 d
2 3
∴这个数列的首项a1是-2，公差d =3.
小结：已知数列中任意两项，可求出首项和公差，主 要是联立二元一次方程组。请同学们做以下练习。
个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的递推 公式。
四 个 实 例 我们经常这样数数，从0开始，每隔5数一次，可以得到数列： 0，从5，第1二0 项，1起5 ，，后20 一，…项与前①一项的差是5。 赛项目20。00该年项，目在共澳设大置利了亚7悉个尼级举别行，的其奥中从运较会第轻上的二，4项个女级子起别举，体重重被后组正一成式项数列列为与比 （单位：kg）： 48 ，53，58，63. 前一②项的差是5。
所以等差数列的通项公式是：
an=a1+(n-1)d
例题 例1 （1）求等差数列8，5，2，…的第20项；
（2）判断-401是不是等差数列 –5,-9 ,-13…的项?
如果是，是第几项，如果不是，说明理由。
分析（1）由给出的等 解：(1)由题意得：
差数列前三项，先找 a1=8,d=5-8=-3,n=20
从该例题中可以看出，等差数列的通项公 式其实就是一个关于、、d、n（独立的量 有3个）的方程；另外，要懂得利用通项 公式来判断所给的数是不是数列中的项， 当判断是第几项的项数时还应看求出的项 数是否为正整数，如果不是正整数，那么 它就不是数列中的项。
练习三
已知等差数列{an}中，a4=10,a7=19,求a1和d.
解：依题意得：
aa11
3d 6d
10 19
解之得：

a1 d

1 3
∴这个数列的首项是1，公差是3。
例 3、已知数列{ an }的通项公式 an pn q ，其中 p 、q 是常数，那么这个数列是否一定是等差数列？若是， 首项与公差分别是什么？
解： an an1 ( pn q) [ p(n 1) q]
到首项a1,求出公差d, ∴这个数列的通项公式是：
写出通项公式，就可
an=a1+(n-1)d=-3n+11
以求出第20项a20.
∴a20=11-3×20=-49
分析（2）要想判断 -401是否为这个数列 中的项，关键是要求 出通项公式，看是否 存在正整数n,使得
an=-401。
(2)由题意得：
a1=-5,d=-9-(-5)=-4 ∴这个数列的通项公式是：
变形
d an am nm
等差数列
等差数列的通项公式： 如果一个等差数列{an}的首项为a1 ，公差为d，
那么我们可以根据等差数列的概念得到：
a2-a1=d a3-a2=d a4-a3=d …………
an-1-an-2=d + an-an-1=d
an-a1=(n-1)d
等差数列的通项公式： an=a1 +(n-1)d
（2）9，6，3，0，-3… 是 a1=9,d=-3
（3）-8，思-6考，-：4，在-2数，0列，… 是 a1=-8,d=2
（4）3（，31），3，，a3，100…=？我 是 a1=3,d=0
(5)1,们1该, 1如, 1何,求1 ,解K呢？ 不是
2345
（6）15，12，10，8，6，… 不是
通 项 公 式 的 推 导 问an=?

an

1 3n 2
有些数列若通过取倒数代数变形方法，
可由复杂变为简单，使问题得以解决.
已知数列 an 中，
a1

2
，n≥2
时
an

7an1 3an1
3 1
，求通项公式.
设正项数列an满足 a1 1，an 2an21（n≥2）.求数列an的通项公式.
课时小结
• 通过本课时的学习，首先要理解和掌握等差数列的定义
an=-5+ (n - 1) × (-4)=-4n-1 令-401=-4n-1,得 n=100
∴-401是这个数列的第100项。