洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
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6-9C 图示系统中圆轮 A 的质量为 4kg。 定滑轮质量不计。斜面的质量为 2kg，斜面 的倾斜角为 30 度。 当圆轮在斜面上无初速地 向下纯滚过 400mm 时， 斜面在光滑的水平轨 道上移动了 200mm。求重物 B 的质量。
A
30o
题 6-9C
B
T
A C
r x′
T
B
r r y y′
r x
题解 6-1C
D
⎞ 3 b 0⎟ ⎟ 6 ⎠
⎞ 3 b 0⎟ ⎟ 6 ⎠
T
由于轴 y 是对称轴，所以 Cy 为中心惯量主轴。
J C xz = ∑ mi xi zi = 0,
i
J C yz = ∑ mi yi zi = 0
i
J C xz = ∑ mi xi zi = 0,
p = mvD = (3m1 + 2m2 )vD = 1 (5m1 + 4m2 )lω 2
洪嘉振等《理论力学》第 3 版习题详解
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6-8C 图示滑轮 O 和 D 的质量不计，重物 A 和 B 的质量分别为 mA 和 mB 。若此瞬时重物 A 以加速度 a 下降，绳与滑轮间无相对滑 动，试求支座 O 的约束力。
D
得
5m1 + 4m2 b= l 2(3m1 + 2m2 )
C
ω
O
A
如图所示，机构质心 D 运动方程为 xD = mb cos ωt y D = mb sin ωt
ωt
b
题解 6-7Ca
r x
（2）如图所示，质心 D 的速度为 vD = ωb ，故系统的动量为过质心 D 方向垂直 OC 的 矢量，其大小为
J C x = J 1 x − m(
C
r x1 r x2
r x
4r 2 1 16 ) = ( − 2 )mr 2 3π 4 9π
A
题解 6-4C
由于 AC = r −
4r ， ，由平行轴定理可得 3π 4r 2 5 8 ) = ( − 2 )mr 2 3π 4 3π
J x = J C x + m( r −
y
A
B
ω
O
题 6-7C
C
A
r x
解： （1）由题意可知，点C为规尺AB (质量 2m1)与滑块A 故系统质心在杆OC的D处， 如图 和B质量(质量m1)的质心， 6-7Ca所示，令 OD = b ，有
l (2m1 + 2m2 )l + m1 = (2m1 + 2m2 + m1 )b 2
r y
A
B
r p r vD
mB =
4 ⋅ 146.41 − 2 ⋅ 200 = 0.93 kg 200
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6-10C 喷气式飞机的发动机从前端每秒吸入 空气的质量为 70 kg， 燃料的消耗率为每秒 1.35kg， 尾部喷出的燃气相对于飞机的速度是 1800m/s， 求 当飞机速度是 660km/h 时推力的大小。
& =F P x Rx & Py = FR y ,
D
r vB
A
r mA g
r y
题解 6-8C
r vA
B
r mB g
有
0 = FOx
d(m A − 1 m B )v A 2 = m A g + mB g − FOy dt
可得
FOx = 0
FOy = m A g + mB g −
2m A − m B d v A 2m A − m B = m A g + mB g − a 2 dt 2
因为排出的质量是吸入空气和消耗燃料之和，故有向前的推力：
FBP =
向前的总推力为：
F P = FBP − FAP = 115.4kN
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6-11C 如图所示，重 G 的物体 A 带动单位长度的重量为 q 的软 链以速度 v0 向上抛出。假定软链有足够的长度，求重物所能达到的 最大高度。
1
6-3C 如图所示，质量为 m、半径为 R 的均质半圆 球， AB 为通过质心 C 并平行于其底面的任意直线。计 算半圆球对轴 AB 的转动惯量。 解： 半圆球对通过底面球心 O 的任意直径转动惯量为
JO x = 2 mR 2 5
R
C O
B
A
题 6-3C
由平行轴定理
3 83 J C x = J O x − m ⋅ ( R) 2 = mR 2 8 320
i
(
)
b 1 J Ay′ = ∑ mi xi2 + zi2 = 2 ⋅ m( ) 2 = mb 2 ， 2 2 i
(
)
3 2 3 2 b) = mb 2 2 i （3）轴 Ax′ 与 Cx 轴平行，轴 Az ′ 与 Cz 轴平行 分别有关系
J A x′ = ∑ mi zi2 + yi2 = 2 ⋅ m( J A x′ = J C x + 3 ⋅ m ⋅ ( J A z′ = J C z + 3 ⋅ m ⋅ (
r z A
C
r x
题 6-1C
B
r y
解：
3 （1）对于题图给出的连体基，考虑到 AB = b 2 与质心 C 在几何形心，三质点的坐标分别为（见图
r z′
r z
E
6-1C）
⎛ ⎞ 3 rA = ⎜ 0 − b 0⎟ ⎜ ⎟ 3 ⎝ ⎠ ⎛1 rD = ⎜ b ⎜2 ⎝ ⎛ 1 rE = ⎜ − b ⎜ 2 ⎝
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6-1C 三个质量均为 m 的质点用质量不计 的刚杆连结成正三角形，边长为 b。在质心 C 建 r 立如图所示的连体基，矢量 z 为正三角形的法 向，点 B 为该边的中点。求 （1）三个中心主转动惯量； （2）任一个顶点的三个主转动惯量； （3）讨论中心主转动惯量与任一顶点的主 转动惯量间的关系。
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6-5C 一细杆由钢和木二种材料拚装组成，二段 为均质杆，质量分别为 m1 和 m2 。试写出细杆对图 示各轴的转动惯量。
r z1
r z2
r z3
m1
l
题 6-5C
ห้องสมุดไป่ตู้m2
l
解： 根据转动惯量的平行轴定理，
J Z1 = 1 1 1 7 ⎛l⎞ ⎛ 3l ⎞ m1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ ⎜ ⎟ + m2 ⋅ l 2 + m2 ⋅ ⎜ ⎟ = m1l 2 + m2l 2 12 2 12 2 3 3 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1 1 1 1 ⎛l⎞ ⎛l⎞ m1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ ⎜ ⎟ + m2 ⋅ l 2 + m2 ⋅ ⎜ ⎟ = m1l 2 + m2l 2 12 3 3 ⎝ 2 ⎠ 12 ⎝2⎠
T
3 2 3 2 1 b) + 2 ⋅ m ⋅ ( b) = mb 2 3 6 2
⎞ 3 b 0⎟ ⎟ 2 ⎠
T
同（1）理可知，轴 Ax′ , Ay′ , Az ′ 是过顶点 A 的三个惯量主轴。由定义可以分别得到三个中 心主转动惯量
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J A z′ = ∑ mi xi′2 + yi′2 = 2mb 2
解： r 如图 6-9C 所示建立惯性坐标基。 y 令圆轮A记为 B1 ，质心A的x坐标记为 x1；斜面记为B2，质心D的x坐标记为x2； 重物B记为B3，质心B的x坐标记为x3。系统 质心C的x坐标记为xC。系统总质量记为M， 有如下关系
M 作用于质点系上外力的主矢在 x 轴上 xC =
A
∑m x
i
J C yx = ∑ mi yi xi =
i
1 3 1 3 b b− b b=0 2 6 2 6
所以 Cx、Cz 也是中心惯量主轴。由定义可以分别得到三个中心主转动惯量
J C z = ∑ mi xi2 + yi2 = 3m ⋅ AC = 3m ⋅ (
2 i
(
)
3 2 b) = mb 2 3
b 1 J C y = ∑ mi xi2 + z i2 = 2 ⋅ m ⋅ ( ) 2 = mb 2 2 2 i
i i
30o
C
B
r x
O
的投影始终为零，系统动量在该轴上的坐 标守恒。如果初始系统质心 x 方向速度为 零，则在任意时刻该速度均为零，即质心 在该轴上的坐标保持不变： xC = xC 0 ，有
x10 x20 ′ Δx1 x30
Δx2
Δx3
A
Δx1 Δx2
∑m x = ∑m x
i i
i i0
B
M
M
或
30o
2 2 2 2 2 2
JZ2 =
J Z3
1 1 7 1 ⎛ 3l ⎞ ⎛l⎞ = m1 ⋅ l 2 + m1 ⋅ ⎜ ⎟ + m2 ⋅ l 2 + m2 ⋅ ⎜ ⎟ = m1l 2 + m2l 2 12 3 3 ⎝ 2 ⎠ 12 ⎝2⎠
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6-6C 试计算下列各系统在图示瞬时的动量： (a) 连杆AB以匀角速度 ω 绕轴A转动，带动行星轮B在固定中心轮上作纯滚动。连杆和 行星轮都为均质，质量分别为m1和m2，尺寸如图所示； (b) 均质胶带及带轮的质量分别为m、m1和m2，尺寸如图所示。轮O1以匀角速度 ω 绕轴 转动。
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