∑ mC = 0 , FD × 4 − q × 2 ×1 − M = 0 ,
FD = 15 kN ; ∑ Fy = 0, − FCy + FD − q × 2 = 0 ,
FCy = −5 kN
∑ Fx = 0 ， FCx = 0 kN
（2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方
程:
∑ mB = 0 , − FAy × 2 − q × 2 ×1 + FCy × 2 = 0 ,
为自锁。反之，主动力的合力作用线位于摩擦锥外时，不论这个力多小，物体总不平衡。
1 滚动摩擦
维持滚动体平衡的滚阻力偶 M f 的值只能在零和 M f ,max 之间，即 0 ≤ M f ≤ M f ,max . 最大滚阻力偶 M f ,max 与正压力 FN 成正比，即
M f ,max = δFN 。
∑mx = 0 ∑my = 0 ∑mz = 0
FR′ × k ≡ 0
空间平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0 ∑my = 0
FR′ ⋅ k ≡ 0 MO ×k ≡ 0
平面力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑mz = 0
∑ Fz ≡ 0
平面汇交力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0
∑mx ≡ 0 ∑my ≡ 0
(a) 解：（1）先取 BC 梁为对象，画受力图，列平衡方程
∑ mB = 0 ， FC × 4 − q × 6 × 3 = 0 ，
4
FC = 18 kN ；
∑ Fy = 0, FBy + FC − q × 6 = 0 ，
FBy = 6 kN
∑ Fx = 0 ， FBx = 0 kN
（2）再取 AB 梁为对象，画受力图，列平衡方程
除了 3 个约束外力外，3 根杆的轴力也是未知的，共有 6 个未知量。AB 梁可以列出 3 个平衡方程，连接 3 根杆的铰链可以列出 2 个平衡方程，共有 5 个方程，所以，该系统的内 力是 1 次静不定。
3-2 炼钢炉的送料机由跑车 A 与可移动的桥 B 组成，如图示。跑车可沿桥上的轨道运 动，两轮间距离为 2 米，跑车与操作架、手臂 OC 以及料斗相连，料斗每次装载物料重 W=15kN，平臂长 OC=5m。设跑车 A、操作架和所有附件总重量为 P，作用于操作架的轴线。 试问 P 至少应多大才能使料斗在满载时不致翻倒？
2 静定和静不定问题 未知约束力分量的数目等于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静定问题； 未知约束力分量的数目大于独立平衡方程的数目，这类平衡问题称为静不定问题，两者
之差称为静不定次数。这类问题需要补充与静不定次数相同数量的变形协调方程才能求解。 未知约束力分量的数目小于独立平衡方程的数目，这类平衡问题是不存在的。 解题要领：
FAy = −15 kN .
∑ Fy = 0, FAy + FB − q × 2 + FCy = 0
FB = 40 kN . ∑ Fx = 0 , − FAx + FCx = 0
题 3-4(b)图
FAx = 0 kN .
3-5 梁的支承及载荷如图示。已知： F = qa ， M = qa 2 。试求支座的约束力。
FAx = FBx = 0 .
∑ mA = 0 ，
平面力偶系:
∑mz = 0
∑my ≡ 0
平面平行力系:
∑ Fz = 0 ∑mx = 0
解题要领： 1 解平衡问题的三部曲：确定研究对象、画受力图、列平衡方程； 2 通常先以整体为研究对象，再以部分为研究对象； 3 平衡方程的两种形式：投影式和对轴的力矩式，两者都与轴有关，选择合适的坐标轴可
避免解联立方程。 4 做一定数量的习题是掌握平衡问题的关键。
（a）解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
∑ mC
=
0 ， FDa
−
1 qa2 2
−M
=
0，
FD
=
3 2
qa
。
∑ Fx = 0 ， FCx = 0 。
5
∑ Fy = 0, FCy + FD − F − qa = 0
FCy
=
1 2
qa
。
2）再取 AC 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
FA = 63.22 kN . ∑ Fy = 0, FA + FC sin 60o + FB − F1 sin 60o − F2 − q × 3 = 0 ,
FB = 88.74 kN .
题 3-3(a)图
（b）解：以 AB 以梁为研究对象，画受力图，列平衡方程
∑ Fx = 0 ， FD cos 45o − FB cos 45o − F2 cos30o = 0 ， ∑ mC = 0, FD sin 45o × 4 + FB sin 45o × 8 − M − F1 × 2
− F2 sin 30o × 6 = 0, 解得： FB = 8.42 kN,5o + FB sin 45o + FC − F1 − F2 sin 30o = 0 ， 解得： FC = 3.45 kN 。
题 3-3(b)图
3-4 试求图示多跨梁的支座反力。已知（a） M = 8 kN ⋅ m ， q = 4 kN/m ；（b） M = 40 kN ⋅ m ， q = 10 kN/m 。
解题要领： 1 滑动摩擦问题，要区分三种状态：
ⅰ）平衡范围之内，即 0 ≤ F < Fmax ，此时，静滑动摩擦力相当于普通的约束力，力矢
的箭头指向可以任意假定；
ⅱ）临界平衡状态，即 F = Fmax = f s FN ，此时，静滑动摩擦力矢的箭头指向是确定的，
不能任意假定；
ⅲ）滑动状态，即 F ' = fFN ，此时，动滑动摩擦力矢的箭头指向是已知的。
∑ Fx = 0 ， FAx + FBx = 0 ，
FAx = −FBx = 0 kN
∑ Fy = 0, FAy − FBy = 0 ， FAy = 6 kN ;
∑ mA = 0 ,
mA − M − FBy × 4 = 0 ,
mA = 32 kN ⋅ m .
题 3-4(a) 图
(b) 解：（1）先取 CD 梁为对象，画受力图，列平衡方程:
∑ mB
=
0，−
FAy a
−
FCy a
−
1 qa2 2
=
0，
FAy = −qa 。
∑ Fx = 0 ， FAx − FCx = 0 ， FAx = 0 。
∑ Fy = 0,
FAy + FB − FCy − qa = 0 ，
FB
=
5 2
qa
。
题 3-5(a)图
（b）解：（1）取 BC 梁为对象，画受力图。因分布载荷呈三角形分布，B 点处的载荷集度 为 q/2。列平衡方程:
三、平面桁架的静力计算 桁架是由许多直杆彼此在端部用焊接、铆接、榫接而成的几何不变结构。平面桁架可分
为简单桁架和复杂桁架。平面简单桁架是静定结构，复杂桁架可以是静定的，也可能是静不 定的。主要有两种解法：节点法和截面法。
解题要领：
1 将组成桁架的各杆进行编号，内力编号与杆号一致， 内力都假设杆是受拉。计算结果内 力为正，表明原先的假设与实际情况相同，即杆受拉，反之，杆受压。杆实际受拉还是受压 十分重要，不可混淆。 2 确定零杆，即内力为零的杆，以简化计算。 3 计算时，先取整体为对象，求出支座反力。 4 节点法是从只有 2 根杆的节点开始，依次列出各节点的平衡方程，解出各杆内力。节点法 可以解出全部杆的内力。 5 截面法是以一假想的截面截取桁架的一部分为研究对象，只截杆而不可截节点，最好选择 截面的未知杆数不超过 2。 6 灵活应用截面法和节点法，可以提高计算效率。
3
题 3．2 图
解：以送料机为研究对象，受力图如图 示。满载时不致翻倒的临界状态是
FNE = 0 。列平衡方程： ∑ mF = 0 ， P ×1−W × 4 = 0 ，
解得 P = 4W = 4×15 = 60(kN)
所以，当 P > 60kN 时，才能使料斗在
满载时不致翻倒。
3-3 梁 AB 用三根杆支承，如图示。已知 F1 = 30kN ， F2 = 40kN ， M = 30kN ⋅ m ， q = 20kN/m 。试求三杆的约束力。
第三章
本章要点：
一、力系的平衡方程及其应用 1 平衡方程
平衡问题：矢量方法
空间力系:
∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑ Fz = 0, ∑ mx = 0, ∑ my = 0, ∑ mz = 0
MO ≡ 0
空间汇交力系:
∑ Fx = 0 ∑ Fy = 0 ∑ Fz = 0
FR′ ≡ 0
空间力偶系:
2 摩擦角与自锁现象
在临界平衡状态下，全反力与正压力的夹角ϕmax 称为摩擦角，与摩擦因数 f s 的关系为
tan ϕ max
=
Fmax FN
=
fs ，
即摩擦角的正切等于静滑动摩擦因数。
当主动力的合力作用线位于摩擦锥内时，不论这个力多大，接触面一定能产生与之大小
相等、方向相反的全反力与之平衡，这种依靠摩擦力维持平衡而与主动力大小无关的现象称
（4）刚架在 A、B 和 C 处都是固定端约束，各有 3 个共 9 个约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程只有 3 个。所以是 6 次静不定。
（5）平面桁架在 A 处为固定铰链，B 处为辊轴铰链，共有 3 约束力组成平面一般力系， 而独立的平衡方程也有 3 个，因此，该平面桁架的外力是静定的。
2
第三章 平衡问题：矢量方法 习题解答
3-1 讨论图示各平衡问题是静定的还是静不定的，若是静不定的试确定其静不定的次 数。