数学模型是现实世界的简化而本质的描述。 是用数学符号、数学公式、程序、图、 表等刻画客观事物的本质属性与内在联系 的理想化表述.
例1 大夫的决策问题 状态（可能）
治愈 瘫痪 死亡
行动 等待 （人能控制）治疗
此模型(数学结构)表达了大夫能做什么, 可能出现的结果.
可帮助我们明确大夫的决策取决于目标的 设定及治疗原则等.
数学模型是思考的工具
构造一个数学模型可帮助我们进行交流、 获得理解、加强对所采取的行动及结果的预 测能力，它应有助于思考过程.
例2.厂长经理们筹划出一个合理安排生产 和销售的数学模型，是为了获取尽可能高 的经济效益.
例3.生物医学专家有了药物浓度在人体内 随时间和空间变化的数学模型后，可以用 来分析药物的疗效，从而有效地指导临床 用药.
现
建立数学模型
数
实
学
世 界
世 翻译为实际解答 界
推理 演绎 求解
实际解答：如对现实对象的分析、预报、 决策、控制等结果。源自始于现实世界并终于现实世界
三、建模范例
作案时间的确定 一个较热的物体置于室温为180c的房间 内，该物体最初的温度是600c，3分钟以后 降到500c .想知道它的温度降到300c 需要多 少时间？10分钟以后它的温度是多少？
“T的变化速率正比于T与周围介质的温度差”
翻译为
dT 与T m成正比 dt
建立微分方程
dT
k(T
m),
dt
T (0) 60.
其中参数k >0，m=18. 求得一般解为
ln(T－m) = －k t+c,
或 T m cekt , t 0,
代入条件，求得c=42
，k
=－
1 3
ln
16 21
数 学 运 算 能 力
空 间 想 象 能 力
数 学 建 模 能 力
数 据 处 理 能 力
数 学 软 件 能 力
数 学 知 识 能 力
二、数学模型与数学建模 数学模型(Mathematical Model):重结果；
数学建模(Mathematical Modeling):重过程.
模型:所研究的客观事物有关属性的模拟, 具有事物中感兴趣的主要性质。
面可用一个连续二元函数 z=z(x, y)表示）
*2 相对于地面的弯曲程度, 方桌的腿足够长.
*3 将与地面的接触看成几何上的点接触.
建模 绘制方桌的俯视图，设想桌子绕中心O点 旋转，转动角度记为θ.
B
A′ θ
C
O
A
C′
D
引进函数变量： f(θ) — A、C 两腿到地面的距离之和； g(θ) — B、D 两腿到地面的距离之和；
由假设*1，f(θ)、g(θ)都是连续函数。 由*2，方桌腿足够长，至少有三条腿总能 同时着地，故有
f(θ) g(θ)=0，θ∈[0，2π]
不妨设 f(0)=0、g(0)＞0.
方桌问题归结为数学问题： 已知 f(θ) 和 g(θ) 都是连续函数, f(0)=0、g(0)
＞0,且对任意θ∈[0, 2π], 都有f(θ)g(θ )=0，
求证：存在θ0，使得f(θ0) = g(θ0). 分析：当θ=π/2时，即AC 和 BD互换位置, 故有 f(π/2)＞0， g(π/2)=0 令 h(θ)=f(θ)－g(θ)，则有
h(0)＜0，h(π/2)＞0，
因 h(θ) 在 [0, π/2]上连续，根据闭区间 上连续函数的介值定理，存在θ0∈[0,π/2]， 使
* 对实体本身的模拟 如:飞机形状进行模拟的模型飞机；
* 对实体某些属性的模拟 如:对飞机性能进行模拟的航模比赛飞机；
* 对实体某些属性的抽象 如:一张地质图是某地区地貌情况的抽象
任何一个模型仅为一个真实系统某一 方面的理想化，决不是真实系统的重现.
数学模型(E.A.Bendar 定义)： 关于部分现实世界为一定目的而做的抽 象、简化的数学结构。
诺贝尔经济学奖获得者建立了大量的数 学模型，为世界经济发展做出卓越贡献：
人类时间价格模型； 教师与毕业生的增长模型；
房屋出售问题模型； 最优消费和组合投资问题； Selton 连锁店博弈模型； 平稳人口模型；
固定汇率和浮动汇率的货币动力学 人类时间价格的度量； 考虑技术进步的生产函数…….
数学模型是沟通现实世界 与数学世界的理想桥梁。
牛顿冷却（加热）定律：将温度为T的 物体放入处于常温 m 的介质中时，T的变 化速率正比于T与周围介质的温度差。
分析：假设房间足够大，放入温度较低或 较高的物体时，室内温度基本不受影响，即 室温分布均衡,保持为m，采用牛顿冷却定律 是一个相当好的近似。
建立模型：设物体在冷却过程中的温度为 T(t)，t≥0，
,
最后得
T(t)=18+42
e
1 3
ln
16 21
t
, t ≥0.
结果
：T(10)=18+42 e
1 3
ln 12611=025.870，
该物体温度降至300c 需要8.17分钟.
稳定的椅子
将一张四条腿一样长的方桌放在不平的 地面上, 问是否总能设法使它的四条腿同时 着地？
假设 *1 地面为连续曲面.（在Oxyz坐标系中，地
美国原子能委员会（现为核管理委员会） 处理浓缩放射性废物，是将废物放入密封 性能很好的圆桶中，然后扔到水深300英 尺的海里.他们这种做法安全吗？
联想：安全 、危险
分析：可从各个角度去分析造成危险的 因素，这里仅考虑圆桶泄露的可能.
问题的关键
*圆桶至多能承受多大的冲撞速度？(40英 尺/秒);
*圆桶和海底碰撞时的速度有多大？ 新问题：求这一种桶沉入300英尺的海底 时的末速度.（原问题是什么?）
h(θ0)=f(θ0)－g(θ0)=0
f(θ0) = g(θ0) 因对任意θ有, f(θ)g(θ)=0
f(θ0)g(θ0)=0
f(θ0)=g(θ0)=0
结论 对于四条腿等长，四脚呈正方形 的桌子，在光滑地面上做原地旋转，在不 大于π/2的角度内，必能放平.
思考题：任意矩形的桌子会怎样？
一场笔墨官司（放射性废物的处理问题）
第一讲 数学模型与数学建模
一、 现代科技人员应具有的数学能力
现代数学： 在理论上更抽象； 在方法上更加综合； 在应用上更为广泛。
* 数学很重要的一方面在于数学知识与数 学方法的应用.
*更重要的方面是数学的思维方式的确立.
21世纪科技人才应具备的数学素质与能力
使更
用新
抽 象 思 维 能 力
逻 辑 推 理 能 力