2021届广东省汕头市潮南实验学校高三上学期期中考试数学（文）试题试卷分值：150分 考试用间：120分钟第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）已知{1,2,4,8,16}A =，2{|log ,}B y y x x A ==∈，则AB =（ ）（A ）{1,2}（B ）{2,4,8}（C ）{1,2,4}（D ）{1,2,4,8}（2）若复数z 满足(12)(1)i z i +=-，则||z =（ ）（A ）25（B ）35 （C ）10 （D ）10（3）若11tan ,tan()32ααβ=+=,则tan =β（ ）（A ）17 （B ） 16 （C ） 57（D ） 56（4）函数,y x x px x R =+∈（ ）（A ）是偶函数 （B ）是奇函数 （C ）不具有奇偶性 （D ）奇偶性与p 有关 （5）若向量(1,2)a x =+和向量(1,1)b =-平行，则a b +＝（ ） （A ）10 （B ）10 （C ）2 （D ）2 （6）等比数列{}n a 的各项为正数，且564718a a a a +=，则3132310log log log a a a +++=（ ）（A ）12 （B ）10 （C ）8 （D ）32log 5+（7）命题“任意[]21,2,0x x a ∈-≤”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）（A ）4a ≥ （B ）4a ≤ （C ）5a ≥ （D ）5a ≤（8） 已知036020x y x y x y -≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≥⎩，则22x y z +=的最小值是（ ）（A ）1（B ）16（C ）8（D ）4（9）执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）（A ）2 （B ）3- （C ）12-（D ）13（10）某几何体的三视图如右图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的表面积为（ ）（A ）2(19)cm π+ （B ）2(224)cm π+（C ）2(10624)cm π++ （D ）2(13624)cm π++（11）已知三棱锥S ABC -的底面是以AB 为斜边的等腰直角三角形,2,2,AB SA SB SC ====则三棱锥的外接球的球心到平面ABC 的距离是（ ）（A ）33（B ）1 （C ）3 （D ）332（12）双曲线M ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的实轴的两个端点为A 、B ，点P 为双曲线M 上除A 、B 外的一个动点，若动点Q 满足,QA PA QB PB ⊥⊥,则动点Q 的轨迹为（ ）（A ）圆 （B ）椭圆 （C ） 双曲线 （D ）抛物线 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

（13）给出下列不等式：111123++>, 11131 (2372)++++>， 1111 (22315)++++>， …………则按此规律可猜想第n 个不等式为 .（14）设()f x 是定义在R 上的周期为3的函数，右图表示该函数在区间(]2,1-上的图像，则(2015)(2016)f f += .（15）已知2x ≤，2y ≤，点P 的坐标为(,)x y ，当,x y R ∈时，点P 满足22(2)(2)4x y -+-≤的概率为 .（16）设,m n R ∈，若直线:10l mx ny +-=与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆224x y +=相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则AOB ∆面积的最小值为 . 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图像如图所示.（Ⅰ）求函数()f x 的解析式，并写出()f x 的单调减区间；（Ⅱ）已知ABC ∆的内角分别是,,A B C ，A 为锐角，且14,cos sin 21225A f B C π⎛⎫-==⎪⎝⎭，求的值.（18）（本小题满分12分）为了迎接第二届国际互联网大会，组委会对报名参加服务的1500名志愿者进行互联网知识测试，从这1500名志愿者中采用随机抽样的方法抽取15人，所得成绩如下：57，63，65，68，72，77，78，78，79，80，83，85，88，90，95.（Ⅰ）作出抽取的15人的测试成绩的茎叶图，以频率为概率，估计这1500志愿者中成绩不低于90分的人数；（Ⅱ）从抽取的成绩不低于80分的志愿者中，随机选3名参加某项活动，求选取的3人中恰有一人成绩不低于90分的概率.（19）（本小题满分12分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面ABC ，ABC ∆为正三角形，16AA AB ==，D 为AC 的中点．（Ⅰ）求证：平面1BC D ⊥平面11A ACC ；（Ⅱ）求三棱锥1C BC D -的体积.（20）（本小题满分12分已知椭圆)0(1:2222>>=+b a b y a x C 上的点到两个焦点的距离之和为32，短轴长为21，直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点。

（Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）若直线l 与圆251:22=+y x O 相切，证明：MON ∠为定值．（21）（本小题满分12分）已知函数()21ln 22f x ax x =--，R a ∈．（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）若函数()f x 有两个零点，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题做答。

答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。

（22）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程为26cos 50ρρθ-+=．（Ⅰ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围； （Ⅱ）设(,)M x y 为曲线C 上任意一点，求x y +的取值范围．（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲设函数()|1|f x ax =-．（Ⅰ）若()2f x ≤的解集为[6,2]-，求实数a 的值；（Ⅱ）当2a =时，若存在x R ∈，使得不等式(21)(1)73f x f x m +--≤-成立，求实数m 的取值范围.2021届广东省汕头市潮南实验学校高三上学期期中考试数学（文）试题参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C C A B C BCCACAC13. 14. 2. 15. 16π16.3 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. 解：（Ⅰ）由周期得所以 ………………2分当时，，可得因为所以故 (4)分由图像可得的单调递减区间为 ……………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，, 即,又为锐角,∴.…………8分，. ……………9分 …………10分. …………12分18.解：（Ⅰ）抽取的15人的成绩茎叶图如图所示， …………3分由样本得成绩在90以上频率为，故志愿者测试成绩在90分以上（包含90分）的人数约为=200人. …………5分（Ⅱ）设抽取的15人中，成绩在80分以上（包含80分）志愿者为,,,,,,其中，的成绩在90分以上（含90分）， …………6分成绩在80分以上（包含80分）志愿者中随机选3名志愿者的不同选法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，},{，，}共20种，………8分其中选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的不同取法有：{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}，{,,},{,,}，{，，}，{，，}，{，，}，{，，}共12种，…………10分∴选取的3人中恰有一人成绩在90分以上的概率为=. …………12分19．解：（Ⅰ）证明：因为底面，所以……………2分因为底面正三角形，是的中点,所以……………4分因为，所以平面………………5分因为平面平面,所以平面平面…………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）知中，，所以………………………………9分所以………………………12分20.解：（Ⅰ）由题意得…………4分（Ⅱ）当直线轴时，因为直线与圆相切，所以直线方程为。

…………5分当时，得M、N两点坐标分别为， (6)分当时，同理；…………7分当与轴不垂直时，设，由,, …………8分联立得…………9分，，…………10分=………… 11分综上，（定值）………… 12分21. 解：（Ⅰ）……………1分当上单调递减；当.………… 3分.…………4分…………5分综上：当上单调递减；当a>0时，…………6分（Ⅱ）当由（Ⅰ）得上单调递减，函数不可能有两个零点； (7)分当a>0时，由（Ⅰ）得，且当x趋近于0和正无穷大时，都趋近于正无穷大，………8分故若要使函数有两个零点，则的极小值，………………10分即，解得,综上所述，的取值范围是…………………12分22.解：（Ⅰ）将C的极坐标方程化为直角坐标为…1分直线的参数方程为……………2分将直线的参数方程代入曲线C的方程整理得……………3分直线与曲线有公共点，,得的取值范围为.……………5分（Ⅱ）曲线C的方程，其参数方程为……………7分为曲线C上任意一点，.……………9分的取值范围是……………10分23.解：（Ⅰ）显然，……………1分当时，解集为，，无解；……………3分当时，解集为，令，，综上所述，.……………5分（Ⅱ）当时，令…………7分由此可知，在单调减，在和单调增，则当时，取到最小值，……………8分由题意知，，则实数的取值范围是……………10分。