H1: i0
其中 的下角标i，在一元回归模型中取值1：
在二元回归模型中取值1、2。
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-24-
然后根据样本观测值和估计值，计算统计量：
t
ˆi
S
i ˆi
该统计量服从自由度为(n k 1) 的 t 分布，即
t ~ t(n k 1)
在 t 统计量的算式中， i 为总体回归系数，
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-4-
§3.1拟合优度检验(R检验) Testing the Simulation Level
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-5-
拟合优度检验，顾名思 义，是检验模型对样本观测 值的拟合程度。
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-6-
1、总体平方和、残差平方和和回归平方和
TSS (Yi Y )2
ESS (Yˆi Y )2
查得临界值
t
2
(n
k
1)
。
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-27-
如果计算出的 t 统计量的绝对值 t ＞ t (n k 1) ， 2
则在(1－)的置信概率下拒绝原假设H0 。表
明在(1－)的置信概率下， ˆi 不是由 i 0 这样的
总体产生的， i 显著地不为 0，即变量 X i 对被
解释变量的影响是显著的；
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-28-
如果 t ＜ t2 (n k 1) ，则在(1－α)的置
信概率下接受原假设 H0，表明在(1－α)
的置信概率下，与 0 没有什麽差别，
即变量 Xi 对被解释变量的影响是不显著 的。
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-29-
在一元线性回归中，t检验与F检验是一致的
对于一元线性回归模型，F 检验与 t 检验的假设均为：
•
踏实肯干，努力奋斗。2020年10月24 日下午2 时31分 20.10.2 420.10. 24
•
追求至善凭技术开拓市场，凭管理增 创效益 ，凭服 务树立 形象。2 020年1 0月24 日星期 六下午2 时31分 18秒14 :31:182 0.10.24
H0 : 1 0 H1 : 1 0
此时，两种检验是一致的。
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另一方面，两个统计量之间有如下关系：
2
F
yˆ i2
ei2 (n 2)
ˆ12 xi2
ei2 (n 2)
ˆ12
ei2 (n 2)
xi2
ˆ
ei2 n 2
• 假设检验的程序是，先根据实际问题的要求提出 一个论断，称为统计假设；然后根据样本的有关
信息，对假设的真伪进行判断，作出拒绝或接受 假设的决策。
• 假设检验的基本思想是概率性质的反证法。
• 概率性质的反证法的根据是小概率事件原理，该 原理认为“小概率事件在一次试验中几乎是不可 能发生的”。
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•
安全象只弓，不拉它就松，要想保安 全，常 把弓弦 绷。20. 10.2414 :31:181 4:31Oc t-2024- Oct-20
•
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安全在于心细，事故出在麻痹。20.10. 2420.1 0.2414:31:1814 :31:18 October 24, 2020
H1
:
1,
不全为零
2
F
1
R2 /k
R 2 /n
k
1
0.999 / 2
1 0.999 / 7
4995
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选 定 显 著 性 水 平 0.05 ， 本 例 中 第 一 自 由 度
1 k 2 ，第二自由度 2 n k 1 10 2 1 7 ，( 本例
中解释变量数目 k =2，样本容量 n =10)，查 F 分布表，
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多元线性模型的统计检验 与区间估计
Statistical Test of Multiple Linear Regression Model
第三章 多元线性回归模型的统计 检验与区间估计
§3.1拟合优度检验(R检验) §3.2方程显著性检验(F检验) §3.3变量显著性检验(t检验)
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因此,可通过该比值的大小对总体线性关系进行 推断。
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-12-
由于 Yi 服从正态分布，根据数理统计学中的定义，Yi 的一 组样本的平方和服从 2 分布。所以有：
ESS (Yˆi Y )2 ～ 2 (k ) RSS (Yi Yˆi )2 ～ 2 (n k 1) 即回归平方和、残差平方和分别服从自由度为 k 和(n k 1) 的
向，我们可以用自由度来调整 R2 ，用 R 2 来表示调整
后的可决系数，以剔除解释变量数目与样本容量的影 响，使具有不同样本容量和解释变量数目的回归方程 可以进行拟合优度的比较。
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（2）校正可决系数
R
2
1
n
n 1 (k
1)
(1
R2)
1
(n 1)(Y 'Y Bˆ ' X 'Y ) (n k 1)(Y 'Y nY 2 )
2 分布。 进一步根据数理统计学中的定义，如果构造一个统计量
ESS
F RSS
k
(n k 1)
则该统计量服从自由度为（k，n-k-1）的F分布。
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2.关于假设检验
• 假设检验是统计推断的一个主要内容，它的基本 任务是根据样本所提供的信息，对未知总体分布 的某些方面的假设作出合理的判断。
R2 1
n 1
n k 1 kF
可见，Ｆ与R2同向变化：当R2 ＝０时，Ｆ＝０； 当R2=1时，Ｆ为无穷大；R2越大，Ｆ值也越大。
因此，Ｆ检验是所估计回归总显著性的一个度量，也
是对 R2的一个显著性检验。即：
检验原假设 H0 : 1 2 0 ，等价于检验 H0 : R2 0
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可以得到一个临界值 F (k,n k 1) 。
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如果所计算的 F ＞ F (k,n k 1) ，则在(1－ )的
置信概率下拒绝原假设H0 ，即模型的线性关系显著 成立，模型通过方程显著性检验。如果所计算的
F < F (k,n k 1) ，则在(1－ )的置信概率下接受
-22-
§3.3变量显著性检验(t检验) Testing the Individual Significance
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-23-
变量显著性检验即对回归系数的显著性进 行检验，如果变量是显著的，那么回归系 数应该显著地不为0。于是，在变量显著性 检验中设计的原假设为：
H0：i=0 而备择假设为：
RSS (Yi Yˆi )2
TSS为总体平方和（Total Sum of Squares），反 映样本观测值总体离差的大小；ESS为回归平方和 （Explained Sum of Squares），反映由模型中 解释变量所解释的那部分离差的大小；RSS为残差 平方和（Residual Sum of Squares），反映样本 观测值与估计值偏离的大小，也是模型中解释变 量未解释的那部分离差的大小。
拟合优度检验和方程显著性检验是从不同 原理出发的两类检验，前者是从已经得到估计 的模型出发，检验它对样本观测值的拟合程度， 后者是从样本观测值出发检验模型总体线性关 系的显著性。
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R 2 1 RSS /(n k 1) TSS /(n 1)
ESS
F RSS
k
(n k 1)
1
xi2
t2
但在多元回归情况下，两种检验说明的问题不同、 作用不同，不能相互取代。
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•
树立质量法制观念、提高全员质量意 识。20. 10.2420 .10.24Saturday , October 24, 2020
•
人生得意须尽欢，莫使金樽空对月。1 4:31:18 14:31:1 814:31 10/24/2 020 2:31:18 PM
-8-
在应用过程中我们会发现，如果在模型中增加一 个解释变量，模型的解释功能增强了，可决系数 R2 计
算公式中的分子——回归平方和 Yˆi Y 2 就会增大，
因而 R2 就增大。这就给人一种错觉：似乎要使模型拟 合得好，就必须增加解释变量。但是，在样本容量一 定的情况下，增加解释变量必定使得自由度减少。所 以，用以检验拟合优度的统计量必须能够防止这种倾
-2-
计量经济学模型是应用数理统
计方法建立的一类经济数学模型，
模型必须满足数学理论与方法上的
要求，所以在模型参数估计后，需
要检验其是否满足数学理论与方法
上的要求。
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-3-
• 我们所要进行的统计检验包括两个方 面，一方面检验回归方程对样本数据的 拟合程度，通过可决系数来分析；另一 方面检验回归方程的显著性，通过假设 检验对模型中被解释变量与解释变量之 间的线性关系在总体上是否显著成立作 出推断，包括对回归方程线性关系的检 验和对回归系数显著性的检验。
首先提出假设，原假设为：
H0 : 1 2 , k 0
即模型线性关系不成立。备择假设为：
H1 : 1, 2 ,, k不全为零
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对于一元线性回归模型，假设为：
H0 : 1 0 H1 : 1 0
然后根据样本观测值和估计值，计算 F 统计量
的数值：
ESS F RSS k