（1）全部成活的概率为
9 4 6561 P ( X 4) C ( ) 4 10 10
4 4
（2）全部死亡的概率为
9 4 1 P ( X 0) C（1 ） 4 10 10
0 4
小结
1.二项分布
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成
功” 和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率 均为1-p；
n投k中呢？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？ 问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？ 问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的
概率是多少？
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
姚明罚球一次，命中的概率是0.8
问题1：他在练习罚球时，投篮4次，全部投中的 概率是多少？
分析： 令Ai
“ 第i次投中” （i 1， 2， 3， 4）
用X 表示4次投篮中投中的次数
P( X 4) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) P( A4 )
0.8 4
问题2：他在练习罚球时，投篮4次，全部没有投中 的概率是多少？
学生探究：已知诸葛亮贡献正确意见的概率为0.9,五位谋士贡献
正确意见的概率都为0.7， 每个人必须单独征求意见，符合独立重复 试验模型.由二项分布可求出谋士团体7 (1 0.7)
k 3 k
n k
则三个人得出正确结论的概率为：
3 P 1 P(X 0) 1 C0 0.3 1 0.027 0.973 3
（3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn ( k 0,1, 2, n) p（1 p）
若一个随机变量X的分布列如上所述，称X 服从参数 为n, p的二项分布，简记为X B( n, p).
2.利用二项分布解决实际问题
②有的同学可能会继续思考，10次投掷中恰有一半 朝上的可能性不大，那么增加投掷次数，比如100 次，恰好出现一半“正面朝上”的可能性会不会大 一些呢？
1 100 P(Y 50) C ( ) 0.08 2
50 100
动手实践
练习
9 种植某种树苗，成活率为 ，现在种植这种树苗 10 4棵，试求：
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（1 0.8） 3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
P ( X 4) 0.8 C 0.8（1 0.8）
4
4 4 4 0
连续投篮n次，恰好投中k次的概率为
P ( X k ) C 0.8（1 0.8） ( k 0,1, 2, n)
课后思考题：“三个臭皮匠能顶一个诸葛亮” 吗? 刘备帐下以诸葛亮为首的智囊团共有5名谋士 (不包括诸葛亮),假定对某事进行决策时,每名谋 士贡献正确意见的概率为0.7,诸葛亮贡献正确意 见的概率为0.9.现为此事可行与否而分别征求智 囊团每名谋士的意见,并按智囊团中过半数人的 意见作出决策,这样作出正确决策的概率与诸葛 亮作出正确决策的概率谁大？
3.各次实验是否相互独立？
每次实验都是相互独立的
抽象概括：
（1）每次实验只有两个相互对立的结果，可以分别称为“ 成功”
和“ 失败” ； （2）每次实验“ 成功” 的概率均为p，“ 失败” 的概率
均为1-p； （3）各次实验是相互独立的.
用X 表示这n次试验中成功的次数，则 k k n k P ( X k ) Cn p（1 p） ( k 0,1, 2, n)
其参数各是什么？
（1）掷n枚相同的骰子，X 为出现“ 1” 点的骰子数； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 6 （2）n个新生儿，X 为男婴的个数（假定生男生女是等可能的）； 1 X 服从二项分布 其参数n n，p 2 （3）某产品的次品率为p，X 为n个产品中的次品数；
（4）女性患色盲的概率为0.25%，X为任取n个女人 中患色盲的人数.
2 4
9963 104
讲课： 郑海涛
俺投篮，也是 讲概率地！！
第一投，我要努力！
Ohhhh，进球拉！！！
第二投，动作要注意！！
又进了，不愧 是姚明啊 ！！
第三投，厉害了啊！！
第三次登场了！
这都进了！！ 太离谱了！
第四投，大灌蓝哦！！
……
姚明作为中锋，他职业生涯的罚球命中率为0.8， 假设他每次命中率相同，请问他4投3中的概率是 多少？
例 2. 某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击击中目标
3 的概率都为 ，且各次击中目标与否是相互独立的.用 4 X 表示这4次射击中击中目标的次数，求X的分布列.
解
3 X 服从参数为n 4，p 的二项分布 4 则它的分布列为
k 4
3 k 1 4 k P ( X k ) C（ ） ( k 0,1, 2, 3， 4) （ ） 4 4 即 1 2 4 0 3 X k
12 54 108 81 1 P( X k ) 256 256 256 256 256
目标被击中的 概率是多少？
二项分布的应用举例
掷硬币问题
①有人认为投掷一枚均匀的硬币10次，恰好5次正面 向上的概率很大。你同意他的想法吗？
1 10 p(X 5) C ( ) 0.25 2
5 10
动手实践
2 2 2 P ( X 2) C4 0.8（ 1 0.8）
恰好投中三次呢？
3 3 1 P ( X 3) C4 0.8（ 1 0.8）
0 0 4 4 C4 0.8（ 1 0.8） （1 0.8） P ( X 0)
1 1 3 P ( X 1) C4 0.8（ 1 0.8）
（1）全部成活的概率；
（2）全部死亡的概率；
（3）恰好成活3棵的概率；
（4）至少成活2棵的概率.
用X 表示4棵树苗中成活的棵数，那么X 服从参数 解： 9 为n 4，p 的二项分布，则它的分布列为 10 9 4 k k 9 k P ( X k ) C（ ） （1 ） 4 10 10
（3）恰好成活3棵的概率为
9 3 9 1 2916 P ( X 3) C ( )（1 ） 10 10 104
3 4
（4）至少成活2棵的概率为
P ( X 2) P ( X 2) P ( X 3) P( X 4)
9 2 9 2 9 1 3 9 3 4 9 4 C ( )（1 ） C4 ( ) (1 ) C4 ( ) 10 10 10 10 10
分析： P( X 0) P( A1 A2 A3 A4 )
P( A1 )P( A2 )P( A3 )P( A4 )
4 （1 0.8）
问题3：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中1次的 概率是多少？
分析：共有以下4种情况：
A1 A2 A3 A4 A1 A2 A3 A4
A1 A2 A3 A4
k n k n k
思考：
在上面的投篮中，如果将一次投篮看成做了一次实验
1.一共进行了几次实验？每次实验有几个可能的结果？
4次试验
2个可能结果：投中和没投中
2.如果将每次实验的两个可能的结果分别称为“ 成功” 功的概率是多少？它们相同吗？
（投中）和“ 失败” （没投中），那么，每次实验成
每次实验成功的概率都是相同的，都为0.8
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称x服从参
数为n,p的二项分布。简记为
x～(n,p)
试验成功的概率
k n
实验失败的概率
k n k
P( X k ) C p (1 p)
（其中k= 0，1，2，· · · ，n ）
试验成功的次数 实验总次数
与二项式定理有联系吗？
例1. 下列随机变量X 服从二项分布吗？如果服从二项分布，
A1 A2 A3 A4
3 每种情况的概率都为： 0.81 （1 0.8）
3 P ( X 1) 4 0.81 （1 0.8）
1 3 =C1 0.8 （ 1 0.8 ） 4
问题4：他在练习罚球时，投篮4次，恰好投中2次的 概率是多少？
分析：包含C2种情况 4
2 2 0.8 （ 1 0.8 ） 每种情况的概率都为：