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職籃選手阿鼎罰球命中率是 8 成，如果每次罰球命中是獨立事 件，4 次罰球全命中的機率是多少？
解 阿鼎 4次罚球全命中的机率是 ( 0.8 )4＝0.4096。
一般重复丢一个铜板、重复掷一个骰子或重复由一袋中抽球 ( 取后放回 ) 都是假设前后试验所得的结果是独立事件。但在实 务上常遇到取样不放回的情况，下面例题说明当母体样本数很大， 而取样次数不是很多时，则不放回的方式与放回的方式所得机率 值很接近。
(1) 若取球后放回袋中，则两事件独立。 (2) 若取球后不放回袋中，则两事件不独立。 在丢铜板与掷骰子的问题中有一个共同点，我们会假设上 次试验结果不会影响下次，即所谓独立事件。这些概念都将是 学习统计与机率十分重要的部分。
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上面我们谈的是两个事件独立，n个事件A1，A2，…，An， 1 ≤ i＜j＜k＜… ≤ n，独立的定义为 (1) P ( Ai∩Aj )＝P ( Ai )．P ( Aj )， (2) P ( Ai∩Aj∩Ak )＝P ( Ai )．P ( Aj )．P ( Ak )，
P ( B│A )≠P ( B ) 时，我们称 A，B是相关事件。
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日常生活中在很多状况下，事件间独立或相关的现象常被误 用。例如：某彩券行这一期开出头彩后，生意特别兴隆，表示人 们错误认知到这一家彩券行买彩券，中奖的机率会比较高。其实 每张彩券中头彩的机率是相同的，与到哪一家彩券行买是无关的。
多少？ (2) 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是多少？
解 (1) 打出安打的机率是0.3，而没打出安打的机率是0.7， 再因每次打击打出安打是独立事件，所以4次上场打击， 前两次都打出安打，后两次没安打的机率是 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.0441。
(2) 4次上场打击，共击出两次安打， 其安打出現次序有 C42種，而每一種次序的機率都是 ( 0.3 )2 ×( 0.7 )2， 所以 4 次上場打擊，共擊出兩次安打的機率是 C42 ( 0.3 )2 × ( 0.7 )2＝0.2646。
独立事件 重复试验 二项分布 二项分布的性质
1-2
二项分布
习题 1-2
1-2 大考试题
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在第二册第三章我们介绍过条件机率，条件机率是当提供某 种新的信息 ( 事件A ) 后，如何重新计算某事件 ( 事件B ) 发生的 机率 ( P ( B│A ) )。我们会问两个事件是否有相关？ 如果两事件A，B无关，也就是事件A发生与否不会影响到事件B发 生的机率，即P ( B│A )＝P ( B ) 时，这种状况我们就称A，B两事 件是独立事件。 反之，如果事件A发生后，事件B发生的机率受影响，即
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擲公正骰子一次，設 A 是點數不大於 3 的事件，B 為擲出 2，4 點的事件， C 是點數不小於 3 的事件。試問： (1) A，B 是否為獨立事件？ (2) A，C 是否為獨立事件？
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上面例子以袋中取球为例，说明两事件是否独立受试验过程 的影响。
大明从袋中随机拿两次球，第一次取到某色球的事件与第二 次取到某色球的事件是否独立，受取球后放回袋中与否的影响。
当两事件独立时，则此两事件都发生的机率，就等于个别事件发 生的机率相乘，所以若事件A，B独立，则 P ( A∩B )＝P ( A )．P ( B )。
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在某些试验里我们常会做重复的测试，
例如：掷一个骰子3次，观察其出现的点数，或是丢一个铜板5次，
观察出现正面的次数，或是由一袋中随机抽球几次 ( 取后放回 )，
… (3) P ( A1∩A2∩…∩An )＝P ( A1 )．P ( A2 )．…．P ( An )。
如果同一试验重复n次，每次试验结果互相独立，那么根据 上式就可以很容易算出n个事件同时发生的机率。
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2
某位職棒選手打擊率 3 成，如果每次打擊打出安打是獨立事件。 (1) 4 次上場打擊兩次都打出安打，後兩次沒安打的機率是
机率的加法原理说明互斥两事件A，B中至少一个发生的机 率，等于个别事件发生机率的和，
若 A∩B＝○ ／，則 P ( A∪B )＝P ( A )＋P ( B )。 而利用条件机率可以得到机率的乘法原理，即 P ( A∩B )＝P ( B )．P ( A│B )， 此乘法原理可以处理两个事件A， B都发生的机率。
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解
(1) 設 S1 為樣本空間，因為抽球後放回袋中，所以 n (S1)＝5 ×5＝25， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件，
所以 n ( A∩B )＝3 ×3＝9，P ( A∩B )＝ 9 。 25
另一方面，P (A)＝ 35 ＝ 3 ，P (B)＝ 53 ＝ 3 ，
出現正面的機率仍是
1 2
。
独立事件 两个离散型随机
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变量独立
1
袋中有 3 個紅球，2 個藍球，每球被取中之機會均等，大 明每次從袋中抽取一球，抽球兩次。設 A，B 分別代表第 一次抽中紅球與第二次抽中紅球的事件。 (1) 若抽球後放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？ (2) 若抽球後不放回袋中，試問 A，B 是否為獨立事件？
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可以得到 P ( A∩B )＝P (A) ·P (B)，因此 A，B 是獨立事件。
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解
(2) 設 S2 為樣本空間，因為抽球後不放回袋中，所以 n (S2)＝5 ×4＝20， 因為 A∩B 代表第一次、第二次都抽中紅球的事件， 所以 n ( A∩B )＝3 ×2＝6，故 P ( A∩B )＝ 6 。 20 另一方面，P(A)＝ 3 4 ＝ 3 ， 20 5 P (B)＝ 3 2 ＋ 23 ＝ 3 20 20 5 ( 分成紅球、紅球與藍球、紅球兩種情形 )， 可以得到 P ( A∩B )≠P (A) ·P (B)，因此 A，B 不是獨立事件。
观察抽出球的颜色，
在这些试验里我们常假设每次重复试验所得结果都与前面所得结
果无关 ( 即独立 )，也就是每次重复试验时的环境是相同的。
例如：在丟銅板的試驗裡，若前 3 次都丟出反面，我們假設試驗
者不會因為心想丟出正面，而改變其丟銅板的方式或技術，來提
高丟出正面的機率，如果這樣的假設是正確的，則第四次丟銅板