反作用飞轮控制一、（1）建立航天器姿态动力学方程和飞轮控制规律 如图1-1中，图1-1 反作用飞轮系统设三飞轮的质心重合与星体质心O 。

三飞轮的轴向转动惯量分别为z y x J J J ,,。

其横向转动惯量设已包含在星体惯量章量c I 内。

星体角速度ω，飞轮相对于星体的角 速度记为：[]Tz y xΩΩΩ=Ω星体与飞轮的总动量矩h 为：()ωωωωωωh h I I I I h b c +=Ω+⋅=Ω+⋅+⋅= （1-1）式中，Ω⋅=⋅=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ωωωωωI h I h I I I J J J I I I I I b c z y xz y x00000000易知，I 即星体与飞轮对点O 的总惯量章量，b h 即飞轮无转动时总动量矩，ωh 即飞轮转动时的相对动量矩。

由动量矩定理得e b b L h h h h h =⨯++⨯+=•••ωωωω⎥⎦⎤⎢⎣⎡Ω⋅Ω⋅Ω⋅-=-=+=⨯+⨯+•••••z z yy xx c e c b b J J J h L L L h h h ωωωω （1-2）式中，e L 为外力矩，c L 为飞轮转轴上电机的控制力矩。

式（1-2）就是装有反作用飞轮的刚性航天器动力学方程的矢量形式。

如定义星体轨道坐标系如图1-2所示，图1-2 轨道坐标系r r r z y ox 的角速度 r ω为j n r -=ω即轨道角速度。

当为圆轨道时，则有32Rn μ=式中μ为地球引力常数，R 为地球半径。

如记ψθϕ,,分别为星体滚转角、俯仰角与偏航角、且设ψθϕ,,和•••ψθϕ,,均为小量。

当航天器相对于轨道坐标系按321旋转时角度旋转矩阵为：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-++--=ϕθϕψϕθψϕψϕθψϕθϕψϕθψϕψϕθψθθψθψcos cos sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos sin cos cos cos sin sin sin cos sin sin sin cos sin cos sin cos cos B按321旋转时产生的角速度为：⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=•••••••••ϕθθϕψθϕψϕθθψϕϕθϕϕϕϕψθθθθϕϕϕϕωsin cos cos cos sin cos sin 0000cos sin 0sin cos 000100cos 0sin 010sin 0cos cos sin 0sin cos 0001c由ψθϕ,,和•••ψθϕ,,均为小量，则,1cos ,1cos ,1cos ≈≈≈ψθϕψψθθϕϕ≈≈≈sin ,sin ,sin ，忽略掉二阶及二阶以上小量得：⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=111ϕθϕψθψB ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=•••ψθϕωc则，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-•⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=ϕψϕθϕψθψωωωωn n n n rz ry rx r 00111⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+--=+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=•••ϕψθψϕωωωωωωn n n c r z y x （1-3） 又由，()()()()⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+-++-+-+-=⨯+•••••••••ψϕψθϕψϕω22n I I n I I I I I n I I n I I I I h h x y y z x x y z y y z x x b b （1-4）⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω⎪⎭⎫⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=⨯••••••n J n J n J n J n J n J h x x y y z z x x y y zz θψϕψϕϕψϕψθωω （1-5）再考虑到引力梯度矩g L 的表示式为：()()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----⋅=03222θϕn I I n I I n L z x z y g （1-6）（1-4）、（1-5）、（1-6）式代入（1-2）式得：()()()()()⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧Ω⋅-=Ω⋅-=Ω⋅-=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω+-+-+-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω+-++=⎪⎭⎫ ⎝⎛+Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω+-+-+-•••••••••••••••••zz cz y y c y xx c x c z e z x x y y x y y z x xcy e y z z x x z x ycx e x y y z z z y y z x xJ L J L J L L L n J n J n I I n I I I I L L n J n J n I I I L L n J n J n I I n I I I I θψϕψϕψψϕϕψθθϕψθϕψϕ22234 （1-7） 式（1-7）即装有反作用飞轮的刚性航天器对地球定向的线性化动力学方程。

式中e L 为不含引力梯度矩的外力矩。

如进一步假设：（1）惯量椭球近似为正球体，即I I I I z y x =≈≈（2）飞轮的轴向转动惯量远小于星体的主惯量，即1,,<<IJ I J I J zy x 则式（1-7）可进一步简化为：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-••••••••c ze z x x c y e y c x e x z z L L n J n I L L I L L n J n I ϕψθψϕ （1-8） （2）俯仰通道控制律由式（1-8）知，俯仰通道动力学方程同其他两个通道解耦，其控制律可单独设计。

俯仰通道方程为：yy c y c y e y J L L L I •••Ω⋅-=+=θ （1-9）先考虑星体受干扰作用后，如何利用控制力矩c yL ，使•θθ和趋于稳定，最方便的控制律取：•⋅-⋅-=•θθθθc c L cy（1-10）姿态测量信息进行反馈控制，且设所测量信息是准确的。

（1-10）代入（1-9）得，e y L c c I =++••••θθθθθ记Ic Ic n n n θθωωξ==•22 得IL e y nn n =++•••θωθωξθ22 （1-11）式（1-11）是典型的二阶系统，n n ωξ与的选择，也即θθc c 与•的选择。

合理的选择n n ωξ与，可以使系统的动态过程和稳态精度满足要求。

（3）滚动——偏航通道控制律设计 动力学方程为⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧Ω⋅-=Ω⋅-=+=Ω+⎪⎭⎫ ⎝⎛++=Ω-⎪⎭⎫ ⎝⎛-••••••••z z cz yy c y cze z x x c x e x z z J L J L L L n J n I L L n J n I ϕψψϕ 选择的控制方法是使各通道飞轮只响应相应通道的姿态运动。

这时飞轮的运动方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=Ω⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-=Ω••••ψωψωξϕωϕωξ2222nz nz nz c z z z nx nx nx cxx x I L J I L J于是姿态运动学方程为x x e z nz nz nz z z e x nx nx nx n J L In I n J L In I Ω-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++Ω+=-⎪⎭⎫ ⎝⎛++••••••••ϕψωψωξψψϕωϕωξϕ2222二、在()()()s s s J J J I I I z y x z y x2.0,05.0,1.0,,,1,2,3,,,1.0,10000000=⎪⎭⎫⎝⎛=======•••ϕθψϕθψ的条件下，对姿态控制过程进行仿真。

仿真模型为：()()()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧-=Ω-=Ω-=Ω-++Ω-=+=+++Ω=•••••••••••z c z z y c y y x c xx c z e z x x cye y cx e x z z J L J L JL n L L n J I L L I n L L n J I ϕψθψϕ111 有前面设计的控制律方法，我们取5.0,10,7.0===n s s t ωξ，则控制律为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=--=--=•••ψψθθϕϕ5.275.275.27cz cy cx L L L仿真框图如下:其中我们选取轨道半径为7400Km 的圆轨道，此时srad n 4101363.3-⨯=，0,0,0000000====Ω=Ω=Ω=Ω=Ω=Ω•••e z e y e x z y x z y x L L L 。

（1）航天器天姿态角ψθϕ,,的仿真曲线-0.500.511.522.533.5t/s角度/度航天器姿态角变化曲线仿真结果分析：ϕ角幅值在24s 后稳定在 0001.0附近，θ角在30s 后幅值小于0001.0，ψ角幅值在40s 后稳定在 0003.0附近。

这可能是因为系统模型不精确、和仿真截断误差造成的。

使ψθϕ,,角并没有完全控制到零。

（2）航天器天姿态角速度•••ψθϕ,,的仿真曲线-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.3t/s角速度/度秒航天器姿态角速度变化曲线仿真结果分析：•ϕ在25s 趋于0，•θ在25s 后趋于0，•ψ在30s 后趋于0。

说明控制器使ψθϕ,,角稳定在很小的幅值，波动在410-数量级。

（3）反作用飞轮相对星体角速度z y x ΩΩΩ,,的变化曲线t/s转速/度秒各轴飞轮的转速仿真结果分析：x Ω在17s 后稳定在s20附近，y Ω在17s 后稳定在s 5附近，z Ω在17s 后稳定在s10附近，这是由于系统并没有把ψθϕ,,和•••ψθϕ,,完完全全控制到0，而是存在410-数量级的误差。

这说明飞轮会以很小的角速度旋转来抵消误差。

（2）反作用飞轮相对星体角速度z y x •••ΩΩΩ,,的变化曲线05101520253035404550各轴飞轮加速度t/s加速度/度秒平方仿真结果分析：x •Ω在17s 后趋于0，y •Ω在17s 后趋于0，z •Ω在17s 后趋于0，说明控制器是飞轮转速稳定在一定的幅值附近，并且波动在210-数量级。

三、对俯仰通道，仿真分析姿态确定误差对姿态控制的影响。

（1）无误差05101520253035404550-0.50.511.522.5仿真结果： θ角在30s 后幅值小于0001.0，•θ在25s 后趋于0。

说明控制器 使θ角稳定在很小的幅值，波动在410-数量级。