《轴对称图形》教案
预习目标
1．理解轴对称、轴对称图形的概念和性质，会探索简单图形之间的轴对称关系，能作出轴对称图形的对称轴，并运用轴对称知识设计简单的图案．
2．根据线段、角、等腰三角形的轴对称性，熟练掌握线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的性质，并且熟悉各种图形的判定方法．
3．能灵活运用相关的定义或定理有条理地分析和解决问题，培养主动运用定理的意识．巩固你能掌握这些知识要点吗？
知识梳理
例题精讲
例1一艘轮船由南向北航行，在A处测得小岛P在北偏西15°方向上，两小时后，轮船在B 处测得小岛P在北偏西30°方向上，在小岛周围18海里内有暗礁，若轮船仍按15海里／时的速度向前航行，则有无触礁的危险？
提示：先画出示意图如图所示，再过点P作PC上AB，垂足为C，
求得PC的长度后再判断有无危险．
解答：如图，过点P作PC⊥AB，垂足为C由题意，得AB＝15×2＝30(海里)．
点评：首先画出正确的示意图，将实际问题转化为数学问题，然后根据三角形内角度数构造等腰三角形和直角三角形斜边上的中线，使问题得以解决．
例2如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AD∥BC，AB＝BC，E是AB的中点，CE ⊥BD，垂足为F．
(1)求证：AD＝BE．
(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线．
(3)△DBC是等腰三角形吗？请说明理由，
提示：(1)通过证明△DAB≌△EBC得到两线段相等．(2)运用等腰三
角形“三线合一”定理．(3)利用前面两小题的结论即可．
点评：本题综合考查垂直平分线的性质、“三线合一”定理和全等三角形的判定与性质，后面的小题都用到了前面小题中的结论，这是几何综合题的一个特点．
例3(1)操作发现：
如图①，D是等边三角形ABC的边BA上一动点（点D不与点B重合），连接DC，以DC为边在DC上方作等边三角形DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？证明你发现的结论．
(2)类比猜想：
如图②，当动点D运动到等边三角形ABC的边BA的延长线上时，其他作法与(1)相同，猜想AF与BD在(1)中的结论是否仍然成立．
(3)深入探究：
①如图③，当动点D在等边三角形ABC的边BA上运动时（点D不与点B重合），连接DC，
以DC为边在其上方、下方分别作等边三角形DCF和等边三角形DCF'，连接AF、BF'．探究AF、BF'与AB有何数量关系，并证明你探究的结论，
②如图④，当动点D在等边三角形ABC的边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，①中的结论是否仍然成立？若不成立，是否有新的结论？证明你得出的结论．
提示：观察图形，猜想验证，充分利用等边三角形的性质寻求三角形全等的条件，利用等量代换，达到证明的目的．
点评：本题是一道探究性的结论开放题，主要考查等边三角形及全等的有关知识．仔细观察，合情推理，猜想验证是几何证明常用的一种思维方式．
热身练习
1．下列图形不是轴对称图形的是( )
2．桌面上有A、B两球，若要将B球射向桌面任意一边，使一次反弹后击中A球，则如图所示的8个点中，可以瞄准的点有( )
A．1个B．2个C．4个D．6个
3．等腰三角形的底角为40°，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )
A．40°B．80° C．100°D．100°或40°
4．如图，在△ABC中，∠B＝60°，AB＝AC，BC＝3，则△ABC的周长为( )
A．9 B．8 C．6 D．12
5．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分别为∠ABC、∠ACB的平分线，则图中等
腰三角形共有( )
A．5个B．6个C．7个D．8个
6．如图，在3×3的正方形网格中，已有两个小正方形被涂黑．再将图中其余小正方形任意涂黑一个，使整个图案构成一个轴对称图形的方法有_______种．
7．等腰三角形的周长为14，其一边长为4，那么它的底边长为_______．
8．如图，AB<AC，BC边上的垂直平分线DE交BC于点D，交AC于点E，AC＝9 cm，△ABE的周长为16 cm，则AB＝_______cm．
9．如图，P、Q是△ABC的边BC上的两点，且BP＝PQ＝QC＝AP＝AQ，则∠ABC＝_______．10．从一张等腰三角形纸片的一个底角顶点出发，能将其剪成两张等腰三角形纸片，则原等腰三角形纸片的底角的度数为_______．
11．如图，AB∥CD，CP交AB于点O，AO＝PO．若∠C＝50°，则∠A＝_______．
12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝80°，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，且BE ＝BP，CP＝CF，则∠EPF＝__________．
13．如图①，等边三角形ABD、等边三角形CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A'B'D'的位置，得到图②，则阴影部分的周长为_______．
14．如图，△ABC是锐角三角形，两条高BD、CE相交于点0，且OB＝OC，试判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．
15．如图，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，0为BD的中点，么OAC和∠OCA相等吗？请说明理由．
16．如图，点D是△ABC的边AC上的一点，过点D作DE⊥AB，DF⊥BC，E、F为垂足，DE＝DF，过点D作DG∥AB，交BC于点G，连接BD、EF．求证：
(1)DG＝BG．
(2)BD垂直平分EF．
参考答案
1．A 2．B 3．C 4．A 5．D 6．5 7．4或6 8．7 9．30°10．72°或
540
7
⎛⎫
︒ ⎪
⎝⎭
11．25°12．50°13．2 14．点O在∠BAC的平分线上．15．相等16．略。