1. 2.2同角的三角函数的基本关系
一、教学目标：
⒈掌握同角三角函数的基本关系式，理解同角公式都是恒等式的特定意义；
2 通过运用公式的训练过程，培养学生解决三角函数求值、化简、恒等式证明的解题技能，提高运用公式的灵活性；
3 注意运用数形结合的思想解决有关求值问题；在解决三角函数化简问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化；在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力．
二、教学重、难点
重点：公式1cos sin 2
2=+αα及
αα
α
tan cos sin =的推导及运用：
（1）已知某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；（2）化简三角函数式；（3）证明简单的三角恒等式.
难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式. 三、学法与教学用具
利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式: 1cos sin 2
2
=+αα及
αα
α
tan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等. 教学用具:圆规、三角板、投影 四、教学过程 【创设情境】
与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．
【探究新知】 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从
圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?
如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由2
2
1MP OM +=,
因此2
2
1x y +=,即22
sin cos 1αα+=.
根据三角函数的定义,当()2a k k Z π
π≠+
∈时,有
sin tan cos α
αα
=.
这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.
【例题讲评】
例1化简： 440sin 12-
解：原式
80cos 80cos 80sin 1)80360(sin 122
2
==-=+-=
例2 已知α
α
αααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+是第三象限角，化简
解：)
sin 1)(sin 1()
sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1()sin 1)(sin 1(αααααααα-+---
-+++=
原式 0cos <∴αα是第三象限角， αα
α
ααtan 2cos sin 1cos sin 1-=----+=
∴原式 （注意
象限、符号） 例3求证：
α
α
ααcos sin 1sin 1cos +=
- 分析：思路1．把左边分子分母同乘以x cos ，再利用公式变形；思路2：把左边分子、
分母同乘以（1+sinx ）先满足右式分子的要求；思路3：用作差法，不管分母，只需将分子转化为零；思路4：用作商法，但先要确定一边不为零；思路5：利用公分母将原式的左边和右边转化为同一种形式的结果；思路6：由乘积式转化为比例式；思路7：用综合法．
证法1：左边=
=+=⋅--=-⋅x
x
x x x x x x x cos sin 1cos )sin 1(sin 1cos )sin 1(cos cos 2右边， ∴原等式成立
证法2：左边=
)sin 1)(sin 1(cos )sin 1(x x x
x -+⋅+＝x
x x 2sin 1cos )sin 1(-⋅+
x x x 2cos cos )sin 1(⋅+=
＝=+x
x
cos sin 1右边
证法3：
证法4：∵cosx ≠0，∴1+sinx ≠0，∴
x
x
cos sin 1+≠0，
∴x
x x x
cos sin 1sin 1cos +-＝()()x x x sin 1sin 1cos 2-+＝x x 22sin 1cos -＝1，
,
cos )sin 1(cos )sin 1(cos sin 1sin 1sin 1cos sin 1,
cos )sin 1(cos cos cos sin 1cos :52
2
2x
x x
x x x x x x x x
x x
x x x x -=
--=--⋅+=
⋅-=
⋅-=右边左边证法
∴左边=右边 ∴原等式成立．
例4已知方程0)13(22
=++-m x x 的两根分别是θθcos sin ，
， 求
的值。

θ
θ
θθtan 1cos cot 1sin -+-
解：θθθ
θθ
θθθθθθθcos sin cos sin cos sin sin cos cos cos sin sin 2222+=--=-+-=
原式
2
1
3+=
∴由韦达定理知：原式 （化弦法） 例5已知ααcos 2sin =，
求
的值。

及αααα
αα
αcos sin 2sin cos 2sin 5cos 4sin 2++- 解：2tan cos 2sin =∴=ααα
【课堂练习】 化简下列各式
3．θθθ
θ
cos cos 1sin 1sin 22-+- 练习答案：
解：（１）原式＝θ
θθθ2
2
22sin )cos 1(sin )cos 1(++- （２）原式＝x x
x
x
x x
x x sin cos sin sin cos sin cos 1sin +-⋅- 【学习小结】
（1）同角三角函数的关系式的前提是“同角”，因此1cos sin 2
2≠+βα，
γ
β
αcos sin tan ≠． （2）利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．
(1) 作业：习题1.2A 组第10,13题.
(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤. 【课后作业】见学案 【板书设计】略 【教学反思】。