【典例1】 (1)已知sinα=
1 3
,且α为第二象限角,求
tanα;
(2)已知sinα=
1 3
,求tanα;
(3)已知sinα=m(m≠0,m≠±1),求tanα.
[解 ]1 sin 1 , 为 第 二 象 限 角,
3
cos
1 sin 2
1
1 3
2
22 3
,
tan sin 2 . cos 4
1 m(当2 α为第一､四象限角时
取正号,当α为第二､三象限角时取负号),
所以当α为第一､四象限角时,tanα= 当α为第二､三象限角时,tanα=
m 1 m ;2 m. 1 m2
[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌
握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相
第十七讲 同角三角函数的基本关系
式及诱导公式
回归课本
1.同角三角函数基本关系式
平方关系:sin2α+cos2α=1;
商数关系:tanα=
sin . co s
2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x轴对称的角可以表示为-α(或2π-
4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C
5.若 cos2sin5,则 tan等 于
=-sin30°= 1 . 2
[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3 , 为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二
2 sin 1 0, 为 第 一 或 第 二 象 限 角.
3
当 为 第 一 象 限 角 时 , cos 1 sin 2 2 2 , tan 2 .
3
4
当 为 第 二 象 限 角 时 ,由 1 知 tan 2 .
4
(3)∵sinα=m(m≠0,m≠±1),
∴cosα=±
1 sin2=±
α); (3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α;
(4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α2 .
3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=t
anα,其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.
【典例2】已知是第三象限角,且
f
(
)
sin(
)cos(2
)tan
3
2
.
cot( )sin( )
1化简f ; 2若coscos32 15,求f 的值; 3若1860,求f 的值.
[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理 选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负 担较轻.
2
时原函数值的符号.
考点陪练
1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
A. 3 2
B. 1 2
C.1
D. 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 1 2
答案:C
,故选C.
2.若sin4,且是第二象限角,则tan的值等于
5
A.4 B.3
3
4
C.3 4
D.4 3
sin(2 )cos(4 )tan(3 )
[解]1f
2
2
2
cot(2 )sin(2 )
2
2
sin cos cot cos. (cot)sin
2 cos32cos(32)sin,sin1 5,
cos 5212 6,f()2 6.
55
5
(3)∵-1860°=-21×90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°) =-cos(-21×90°+30°)
联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
m
1 m,原2 因是m此时小于0,所以形式上tanα的表
达式前面仍不带负号.
类型二
诱导公式及其应用
解题准备:诱导公式起着变名､变角､变号的作用,应用诱导公 式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负 号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.
即α+k·2π(k∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值 ,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正 弦(
2
余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α 看成锐角时原函数值的符号.
总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k· ±α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角
解析: 为第二象限角,
cos
1 sin2
1
4 5
2
3, 5
tan
sin cos
4 5
5 3
4 3
.
答案:A
3.已知sin 3
13,则cos6
的值为
A.1
B.1
3
3
C.2 3 D.2 3
3
3
解析 :
6
2
3
,
cos
6
cos
2
3
sin
3
1 3
.
答案:B
(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.
(5)公式五
sin 2 cos,cos 2 sin .
(6)公式六
sin 2 cos,cos 2 sin .
A.1 B.2 C.1 D.2
2
2
解析:
cos2sin sin2cos2 1,
5, sin2(
52sin)2 1,
sin
2 5,
5 tan
2.
cos
5. 5
答案:B
类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值
解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确､ 灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式 sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定 其他角的三角函数值.