令
Cosu P(u)
P(u)应满足缔合勒让德方程： 1u2 d du 2P 22ud dP u1 m u 22P0
m = 0时的缔合勒让德方程称为勒让德方程： 1u2 ddu2P 22uddP uP0
勒让德方程的解可表示为
k
P(u)a0a1a2u2 akuk
k0
若β参数取某些特殊的值： ll 1 , l 0 ,1 ,2 , ，那么，递推公式可
归一化后： A 1 , B 1
2
i2
得Φ方程的2个实数解：
Φ cos m
Φ sin m
1 cos m 1 sin m
方 程 的 解
m
m
1 eim
2
C m
o
s
和
S in m
0
0
1 2
0
1 2
1
1
1 ei 2
1Cos
1 Cos
-1
1
1 ei
2
1Sin
1 Sin
2
2
1 e2i
Φ cm o s A Φ m Φ m A 2 1 cm o sism i n 2 1 cm o sism i n 2 2 A cm o Φ sm i n B Φ m Φ m B 2 1 cm o sism i n 2 1 cm o sism i n i2 2 B sm i n
1
3
R2,1(r)216aZ0 2
Zre2Za0r a0
3
0
R 3,0(r)823 a Z 0 32 2 71aZ 0 8 r2 Z a0 r2 e3 Z a0r
1
R3,1(r)8416a Z0326aZ 0 rZ a0r2e3Z a0r
2
R3,2(r)81 430aZ032Z a0r2e3Za0r
第二章原子的结构性质与原子光谱
2. Φ()方程的解
d 2 d 2
v
0
常系数二阶齐次线性方程
其解为
Φcei v
为了满足 是单值的，v必须大于0，v = m 2，m是整数。
证明: 波函数的标准要求在空间各点都是单值的，因此坐标由 增加
到 +2 时必须有 2
ei vei v2
eimcomsisim n
m2
0
Φ m c im e ,
Φ m c im e
求归一化常数c：
c2
1
1
02Φ*mΦmd 2
c 1 2
Φ方程的2个复数解：
Φ m
1 ei m 2
Φ m
1 ei m 2
对 H ˆ、Lˆ2及Lˆz算
符是本征函数
根据态叠加原理， Φ方程的2个解线性组合后仍是Φ方程的解，所以
0
2,0
10 3Cos21
4
± 1
2,1
15SinCos
2
± 2
2,2
15Sin2
2
Yl,m(θ,)方程的解
综合Φm()方程和Θl,m(θ)方程的解，可得Yl,m (θ,)方程Yl,m(θ,) =Θl,m(θ) Φm() 的解。也可取Yl,m(θ,)的三角函数的解
YlC,oms ,l,mCmos YlS,imn ,l,mSmin
变为一个l次多项式的收敛解。
kk 1 2 k kk 1
a k 2k 2 k 1 a kk 2 k 1 a k
kk1ll1 ak2 k2k1 ak
2l ! 将此式最高次项ul的系数规定为 a l 2 l l !2
β=l(l+1)的勒让德多项式称为l次勒让德多项式。由递推公式可求其一般解
n2
e4Z 2 8 02h2 En
n = 1, 2, 3, …… l = 0, 1, 2, ……
只有这样取值才能 得到R方程收敛解。
R的归一化条件： R*Rr2dr 1 0
R(r)方程的解
nl
Rn,l(r)
10
R1,0(r)
2
Z a0
32eZa0r
2
0 R2,0(r)212aZ0322Z a0re2Za0r
Yl,m(θ,) 方程的解
表中第二套解的符号意义： Y右下标中第一个字母
表示l之值，当l等于0、1或2 时分别用s、p或d表示。
Y的归一化条件：
002YYSindd1
4. R(r) 方程的解
R(r) 方程：
R 1ddrr2d dR r22 r2EZre2
其特征根方程： 令 0 1r2lr!l2 l r2 !rl !2r!ul2r 或
Pl u21ll!dl
u2
l
1
dul
有了勒让德方程的解，可求缔合勒让德方程的解：
P m lu 1 u 2m 2d m d P u l m u 2 1 ll!1 u 2m 2d d u m m llu 2 1 l
具体的解与l和|m|有关。将
u=cosθ
代入P
m l
u
中便可得Θ(θ)方程的解:
l,m 2l21l|lm ||m !|!PlmCos
Θl,m(θ)是已经归一化的，归一化条件为
Sind1
0
Θl,m(θ)方程的解
lm
l,m
0
0
0,0
2 2
1
0
1,0
6Cos
2
±1
1,1
3 Sin
2
2
根据Euler公式：
eim2coms2isim n2
二个复数相等，其实部和虚部都必须分别相等
C o s v C o s v 2 , S i n v S i n v 2
因此 v 为整数，用m2来代替v，则 v m ，m 0 , 1 , 2 ,
其解为：
d 2 d 2
2
2E
2
所以
d2R dr2
2R
0
R=ce±αr
r=0→∞
当r → ∞时，R → ∞，不满足R有限的条件，所以
R=ce-αr
用一系列递推公式最后可解得：
Rn,l(r)Ne2
lL2nll1(
)
归一化常数：
1
Nn2Za0 32nnnll1!3 2
2Z r na0
2
o
a0 e2 0.529A
(玻尔半径)
2
C2os
1 Cos2
-2
2
1
2
e2 i
S2in
1 Sin2
是 Hˆ 和Lˆ2的本征
函数，但不是 Lˆ z 的本征函数。
3. Θ(θ)方程的解
v = m 2代入Θ(θ)方程
S inSindd Sin2v S inSind d Sin2m2
用S i n 2 乘以上式并移项得
SinddSind d Sim n2 20
5. 氢原子和类氢离子Schrödinger方程的一般解
① n l m r ,, R n , l r Y l , m , R n , l r l , m m
n，l和m的取值及其关系为: n： 1， 2， 3， …… l： 0， 1， 2， ……， (n -1) m： 0， ±1， ±2， ……， ±l