2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（北京卷）一、选择题：（12小题，共60分）1. 已知椭圆x225＋y216＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．62．直线x －√3y ＝3的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60° C．120° D．150°3．已知抛物线4y ＝x 2，则它的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(1，0)C ．(2，0)D ． (0，1)4. 焦点在y 轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )A.y220－x216＝1B.y216－x220＝1C.y216－x236＝1D.y236－x216＝1 5. 运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( )A ．281B ．58C ．85D ．106. 若f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，f ′(－1)＝3，则a 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．67．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量8. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，x 是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是1x<1的充要条件9．.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+错误！未找到引用源。

B .2+错误！未找到引用源。

C .1+2错误！未找到引用源。

D .2错误！未找到引用源。

10．已知圆（x+1）2+y 2=2，则其圆心和半径分别为（ ）A ．（1，0），2B ．（﹣1，0），2C ．D ．11．抛物线x 2=4y 的焦点到准线的距离为（ ）A．B．1 C．2 D．412．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.14．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：．15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.16．椭圆x2+9y2=9的长轴长为．三.解答题（六大题，共70分）17（10分）．已知曲线C：y＝x3+5x2+3x(1)求曲线C导函数.(2)求曲线C在x=1处的切线方程.18．(12分)(1) 设命题p：(4x－3)2≤1，若p是真命题，求x的取值范围。

(2)已知p：4x＋m<0，q：x2－x－2>0，且p是q的充分条件，求实数m的取值范围．19．(12分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．20．(12分)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，A1B1＝A1C1，D，E分别是棱BC，CC1上的点(点D不同于点C)，且AD⊥DE，F为B1C1的中点．求证：(1)平面ADE⊥平面BCC 1B1；(2)直线A1F∥平面ADE.21（12分）.在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m的方程，使直线m过圆C1圆心，且被圆C截得的弦长是6.22. (12分)已知椭圆C1：x24＋y2＝1，椭圆C2以C1的长轴为短轴，且与C1有相同的离心率．(1)求椭圆C2的方程；(2)设O为坐标原点，点A，B分别在椭圆C1和C2上，＝2，求直线AB的方程．2016---2017学年北京临川学校高二期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：1. 已知椭圆25x2＋16y2＝1上一点P 到椭圆一个焦点的距离为7，则点P 到另一个焦点的距离为( )A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】 点P 到椭圆两个焦点距离之和为2a ＝10，∴10－7＝3.【答案】 A3．已知抛物线4y ＝x 2，则它的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(1，0)C ．(2，0)D ． (0，1)[答案] D2．直线x －√3y ＝3的倾斜角的大小为( )A ．30°B ．60° C．120° D．150°【答案】 A4. 焦点在y 轴上，虚半轴的长为4，半焦距为6的双曲线的标准方程为( )A.20y2－16x2＝1B.16y2－20x2＝1C.16y2－36x2＝1D.36y2－16x2＝1 【解析】 由双曲线的焦点在y 轴上，可设双曲线的标准方程为a2y2－b2x2＝1(a >0，b >0)．已知b ＝4，c ＝6，则a 2＝c 2－b 2＝62－42＝20，故所求双曲线的标准方程为20y2－16x2＝1.故选A.【答案】 A5 运动物体的位移s ＝3t 2－2t ＋1，则此物体在t ＝10时的瞬时速度为( )A ．281B ．58C ．85D ．10 【解析】 ∵s ′＝6t －2，当t ＝10时，s ′＝6×10－2＝58.【答案】 B6. 若f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，f ′(－1)＝3，则a 的值等于( )A ．5B ．4C ．3D ．6【解析】 ∵f (x )＝ax 3＋3x 2＋2，∴f ′(x )＝3ax 2＋6x ，∴f ′(－1)＝3a －6＝3，∴a ＝3.【答案】 C7．为了调查全国人口的寿命，抽查了十一个省(市)的2 500名城镇居民，这个问题中“2 500名城镇居民的寿命的全体”是( )A ．总体B ．个体C ．样本D ．样本容量【答案】 C8. 给出下列命题，其中真命题为( )A ．对任意x ∈R ，是无理数B ．对任意x ，y ∈R ，若xy ≠0，则x ，y 至少有一个不为0C ．存在实数既能被3整除又能被19整除D ．x >1是x 1<1的充要条件【解析】 选项A 为假命题，例如是有理数；选项B 是假命题，若xy ≠0，则x ，y 全都不为0；选项C 是真命题；选项D 中，x >1是x 1<1的充分不必要条件．【答案】 C9.一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是( )A .1+B .2+C .1+2D .2解析:该四面体的直观图如图所示,平面ABD⊥平面BCD,△ABD与△BCD为全等的等腰直角三角形,AB=AD=BC=CD=.取BD的中点O,连接AO,CO,则AO⊥CO,AO=CO=1,由勾股定理得AC=,因此△ABC与△ACD为全等的正三角形,由三角形面积公式得,S△ABC=S△ACD=,S△ABD=S△BCD=1,所以四面体的表面积为2+.答案:B10．已知圆（x+1）2+y2=2，则其圆心和半径分别为（）A．（1，0），2 B．（﹣1，0），2C．D．【考点】圆的标准方程．【分析】利用圆的标准方程的性质求解．【解答】解：圆（x+1）2+y2=2的圆心为（﹣1，0），半径为．故选：D．11．抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为（）A．B．1 C．2 D．4【考点】抛物线的简单性质．【分析】直接利用抛物线方程求解即可．【解答】解：抛物线x2=4y的焦点到准线的距离为：P=2．故选：C．12．双曲线4x2﹣y2=1的一条渐近线的方程为（）A．2x+y=0 B．2x+y=1 C．x+2y=0 D．x+2y=1【考点】双曲线的简单性质．【分析】将双曲线的方程化为标准方程，求得a，b，由双曲线的渐近线方程y=±x，即可得到所求结论．【解答】解：双曲线4x2﹣y2=1即为﹣y2=1，可得a=，b=1，由双曲线的渐近线方程y=±x，可得所求渐近线方程为y=±2x．故选：A．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13.已知函数f(x)＝x3＋2，则f′(2)＝________.[答案] 1214．已知命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0 ．【考点】命题的否定．【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【解答】解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：“∀x∈R，x2≥0”，则￢p：∃x∈R，x2＜0．故答案为：∃x∈R，x2＜0．15．如图，函数y＝f(x)的图像在点P处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.【答案】216．椭圆x 2+9y 2=9的长轴长为 6 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】将椭圆化为标准方程，求得a=3，即可得到长轴长2a ．【解答】解：椭圆x 2+9y 2=9即为+y 2=1， 即有a=3，b=1，则长轴长为2a=6．故答案为：6．三、解答题：17（12分）．已知曲线C ：y ＝x 3+5x 2+3x(1)求曲线C 导函数.(2)求曲线C 在x=1处的切线方程.[解析] (1) y ′＝3x 2+10x+3，（2）切线斜率k ＝y ′ￜx=1=16，当x=1时，y=9∴切线方程y -9＝16(x -1)，即3x －y ＋2＝0.18．(12分)(1) 设命题p ：(4x －3)2≤1，若p 是真命题，求x 的取值范围。

(2)已知p ：4x ＋m <0，q ：x 2－x －2>0，且p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围．[解析] (1)若命题p 为真，则(2)由x 2－x －2>0，得x >2或x <－1，令A ＝{x |x >2或x <－1}；由4x ＋m <0，得x <－4m ，令B ＝{x |x <－4m }．因为p 是q 的充分条件，所以B ⊆A ，于是－4m ≤－1，得m ≥4，所以实数m 的取值范围是[4，＋∞)．19．(本小题满分12分)如图3，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，A 1B 1＝A 1C 1，D ，E 分别是棱BC ，CC 1上的点(点D 不同于点C )，且AD ⊥DE ，F 为B 1C 1的中点．求证：(1)平面ADE ⊥平面BCC 1B 1；(2)直线A 1F ∥平面ADE .【证明】 (1)因为ABCA 1B 1C 1是直三棱柱，所以CC 1⊥平面ABC .又AD 平面ABC ，所以CC 1⊥AD .又因为AD ⊥DE ，CC 1、DE 平面BCC 1B 1，CC 1∩DE ＝E ，所以AD ⊥平面BCC 1B 1.又AD 平面ADE ，所以平面ADE ⊥平面BCC 1B 1.(2)因为A 1B 1＝A 1C 1，F 为B 1C 1的中点，所以A 1F ⊥B 1C 1.因为CC 1⊥平面A 1B 1C 1，且A 1F 平面A 1B 1C 1，所以CC 1⊥A 1F .又因为CC 1、B 1C 1平面BCC 1B 1，CC 1∩B 1C 1＝C 1，所以A 1F ⊥平面BCC 1B 1.由(1)知AD ⊥平面BCC 1B 1，所以A 1F ∥AD .又AD 平面ADE ，A 1F 平面ADE ，所以A 1F ∥平面ADE .20．(本小题满分13分)为了了解某市工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A ，B ，C 三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A ，B ，C 区中分别有18,27,18个工厂．(1)求从A ，B ，C 区中分别抽取的工厂个数；(2)若从抽得的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率．【解】 (1)工厂总数为18＋27＋18＝63，样本容量与总体中的个体数比为637＝91，所以从A ，B ，C 三个区中应分别抽取的工厂个数为2,3,2.(2)设A 1，A 2为在A 区中抽得的2个工厂，B 1，B 2，B 3为在B 区中抽得的3个工厂，C 1，C 2为在C 区中抽得的2个工厂，在这7个工厂中随机抽取2个，全部可能的结果有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 1，C 1)，(B 1，C 2)，(B 2，B 3)，(B 2，C 1)，(B 2，C 2)，(B 3，C 1)，(B 3，C 2)，(C 1，C 2)，共有21种．随机地抽取的2个工厂至少有1个来自A 区的结果(记为事件X )有：(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，C 1)，(A 1，C 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，C 1)，(A 2，C 2)共有11种，所以这2个工厂中至少有1个来自A 区的概率为P (X )＝2111.21（12分）.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1：(x ＋3)2＋(y －1)2＝4和圆C 2：(x －4)2＋(y －5)2＝9.(1)判断两圆的位置关系;(2)求直线m 的方程，使直线m 过圆C 1圆心，且被圆C 截得的弦长是6.解：(1)圆C 1的圆心C 1(－3,1)，半径r 1＝2；圆C 2的圆心C 2(4,5)，半径r 2＝2.∴C 1C 2＝＝>r 1＋r 2，∴两圆相离；（2）由题意得，所求的直线过两圆的圆心，即为连心线所在直线， 易得连心线所在直线方程为：4x －7y ＋19＝0.22. (12分)已知椭圆C 1：4x2＋y 2＝1，椭圆C 2以C 1的长轴为短轴，且与C 1有相同的离心率．(1)求椭圆C 2的方程；(2)设O 为坐标原点，点A ，B 分别在椭圆C 1和C 2上，＝2，求直线AB 的方程．【解】 (1)由已知可设椭圆C 2的方程为a2y2＋4x2＝1(a >2)，其离心率为23，则a a2－4＝23，解得a ＝4，故椭圆C 2的方程为16y2＋4x2＝1.(2)设点A ，B 的坐标分别为(x A ，y A )，(x B ，y B )，由＝2及(1)知，O ，A ，B 三点共线且点A ，B 不在y 轴上，因此可设直线AB 的方程为y ＝kx .将y ＝kx 代入4x2＋y 2＝1中，得(1＋4k 2)x 2＝4，所以x A 2＝1＋4k24.将y ＝kx 代入16y2＋4x2＝1中，得(4＋k 2)x 2＝16，所以x B 2＝4＋k216.由＝2，得x B 2＝4x A 2，即4＋k216＝1＋4k216，解得k ＝±1，故直线AB 的方程为y ＝x 或y ＝－x .。