2019学年度2019高二期末理科数学试卷考试时间:120分钟;注意事项:1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2.请将答案正确填写在答题卡上第I 卷(选择题)一、选择题1.已知复数34,z i i =+为虚数单位, z 是z 的共轭复数,则iz=() A. 4355i -+ B. 4355i -- C. 432525i -+ D. 432525i --2.对于命题“正三角形的内切圆切于三边的中点”,可类比猜想出正四面体的内切球切于四面体( )A. 各正三角形内的点B. 各正三角形的中心C. 各正三角形某高线上的点D. 各正三角形各边的中点3.用反证法证明命题“若220a b +=,则,a b 全为()0,a b R ∈”,其反设正确的是( ) A. ,a b 至少有一个不为0 B. ,a b 至少有一个为0 C. ,a b 全不为0 D. ,a b 中只有一个为0 4.设函数()f x 可导,则()()11lim3k f k f k→--等于( )A. ()1f 'B.()113f ' C. ()31f -' D. ()113f -' 5.如图所示,阴影部分的面积为( )A.12 B. 1 C. 23 D. 766.已知函数()f x 的导函数为'()f x ,且满足()2'(1)ln f x xf x =+,则'(1)f =( ) A.e - B.1 C.-1 D.e 7.函数()()21e xf x x =-的递增区间为( )A. (),-∞+∞B. 1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ C. 1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭8.已知()1nx +的展开式中第5项与第7项的二项式系数相等,则奇数项的二项式系数和为( )A. 92B. 102C. 112D. 1229.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( )A .某校高三(1)班有55人,2班有54人,3班有52人,由此得高三所有班人数超过50人B .两条直线平行,同旁内角互补,如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角,则∠A+∠B =180°C .由平面三角形的性质,推测空间四边形的性质D .在数列{a n }中,a 1=1,a n =12 (a n -1+11n a -)(n≥2),由此归纳出{a n }的通项公 10.函数sin ln y x x =+在区间[]3,3-的图象大致为( )A. B. C. D.11.古有苏秦、张仪唇枪舌剑驰骋于乱世之秋,今看我一中学子论天、论地、指点江山。
现在高二某班需从甲、乙、丙、丁、戊五位同学中,选出四位同学组成重庆一中“口才季”中的一个辩论队,根据他们的文化、思维水平,分别担任一辩、 二辩、三辩、 四辩,其中四辩必须由甲或乙担任,而丙与丁不能担任一辩,则不同组队方式有( ) A. 14种 B. 16种 C. 20种 D. 24种12.已知定义在实数集R 上的函数()f x 满足()13f =,且()f x 的导数()f x ' 在R 上恒有()()2f x x R '<∈,则不等式()21f x x <+ 的解集为( ) A. ()1,+∞ B. (),1-∞- C. ()1,1- D. ()(),11,-∞-⋃+∞第II 卷(非选择题)二、填空题13.⎰+30)sin 2(πdx x x = 。
14.()6121x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中, 3x 的系数是____________.(用数字填写答案) 15.函数()32393,f x x x x =--+若函数()()g x f x m =-在R 上有3个零点,则m 的取值范围为__________.16.学校艺术节对同一类的,,,A B C D 四项参赛作品,只评一项一等奖,在评奖揭晓前,甲、乙、丙、丁四位同学对这四项参赛作品预测如下: 甲说:“是C 或D 作品得一等奖”; 乙说:“B 作品获得一等奖”;丙说:“,A D 两项作品未获得一等奖”;丁说:“是C 作品获得一等奖”.若这四位同学只有两位的话是对的,则获得一等奖的是__________.三、解答题17.(10,其中a≥0.18.(12分)设a 为实数,函数f (x )=x 3﹣x 2﹣x+a ,若函数f (x )过点A (1,0),求函数在区间[﹣1,3]上的最值.19.(12分)已知函数()2xf x e x a =-+, x R ∈,曲线()y f x =的图象在点()()0,0f 处的切线方程为y bx =.(1)求函数()y f x =的解析式;(2)当x R ∈时,求证: ()2f x x x ≥-+;20.(12分)数列{}n a 满足*153618,n n a a n n N ++=+∈,且14a =. (1)写出{}n a 的前3项,并猜想其通项公式; (2)用数学归纳法证明你的猜想.21.(12分)已知()nxx2323+展开式各项系数的和比它的二项式系数的和大992.(Ⅰ)求n ;(Ⅱ)求展开式中6x 的项; (Ⅲ)求展开式系数最大项.22.(12分)已知函数()()()1ln ,,af x x a xg x a R x+=-=-∈.(1)若1a =,求函数()f x 的极小值;(2)设函数()()()h x f x g x =-,求函数()h x 的单调区间;(3)若在区间[]1,e 上存在一点0x ,使得()()00f x g x <成立,求a 的取值范围,( 2.718e =)参考答案1.C2.B3.A4.D5.B6.C .7.D8.A9.B 10.A 11.D 12.A 13.2192π+ 【解析】222330011(2sin )(cos )|()(01)9292x x dx x x ππππ+=-=---=+⎰.考点:定积分的计算. 14.180-【解析】由题意得,()6121x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中3x 项为()()()()24424236612121180xC x C x x x ⎛⎫-+--=- ⎪⎝⎭,所以展开式中3x 的系数为180-.点睛:求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r +项,再由特定项的特点求出r 值即可. (2)已知展开式的某项,求特定项的系数.可由某项得出参数项,再由通项写出第1r +项,由特定项得出r 值,最后求出其参数. 15.(-24,8) 【解析】因为()()()2369313f x x x x x =--=+-',则当(),1x ∈-∞-时, ()0f x '>,函数()y f x =单调递增;当()1,3x ∈-时, ()0f x '<,函数()y f x =单调递减;当()3,x ∈+∞时, ()0f x '>,函数()y f x =单调递增。
所以函数()y f x =在1x =-时取极大值()18f -=, ()y f x =在3x =时取极小值()324f =-,结合图形可知当248m -<<时,函数()y f x =与y m =的图像有三个交点,即函数()y f x m =-有三个零点,应填答案()24,8-。
点睛:解答本题的关键是求出函数()y f x =的极大值()18f -=与极小值()324f =-,然后再结合函数()y f x =的图像将函数()y f x m =-的零点的个数问题转化为两个函数()y f x =与函数y m =的图像的交点的个数问题。
16.B【解析】若甲同学说的话是对的,则丙、丁两位说的话也是对的;若丁同学说的话是对的,则甲、丙两位说的话也是对的,所以只有乙、丙两位说的话是对的,所以获得一等奖的作品是B .17.用分析法证明。
【解析】试题分析:要证32a a +-+<1a a +-成立, 需证132a a +++<11a a++需证32a a +++>1a a ++ 因为31,2a a a a +>++>显然成立,所以原命题成立。
考点:本题主要考查不等式证明,分析法。
点评:容易题,利用分析法证明不等式,从格式上来说,表述要规范。
本题也可转化证明3a a ++<12a a +++,两边平方。
18.函数f (x )的最大值为16,最小值为0. 【解析】试题分析:由题意可得f (1)=1﹣1﹣1+a=0,从而化简f (x )=x 3﹣x 2﹣x+1,f′(x )=3x 2﹣2x ﹣1=(3x+1)(x ﹣1),从而判断函数的单调性再求最值即可. 解:∵函数f (x )过点A (1,0), ∴f(1)=1﹣1﹣1+a=0, ∴a=1,∴f(x )=x 3﹣x 2﹣x+1,f ′(x )=3x 2﹣2x ﹣1=(3x+1)(x ﹣1), ∴f(x )在[﹣1,﹣]上是增函数,在[﹣,1]上是减函数, 在[1,3]上是增函数;而f (﹣1)=﹣1﹣1+1+1=0, f (﹣)=﹣﹣++1=1+=,f (1)=0,f (3)=27﹣9﹣3+1=16,故函数f (x )的最大值为16,最小值为0. 19.(1)()21xf x e x =--;(2)见解析;【解析】试题分析:(1)利用导函数研究函数切线的方法可得函数的解析式为()21xf x e x =--.(2)构造新函数()()21xg x f x x x e x =+-=--.结合函数的最值和单调性可得()2f x x x ≥-+.(1)根据题意,得()'2xf x e x =-,则()'01f b ==.由切线方程可得切点坐标为()0,0,将其代入()y f x =,得1a =-, 故()21xf x e x =--.(2)令()()21xg x f x x x e x =+-=--.由()'10xg x e =-=,得0x =,当(),0x ∈-∞, ()'0g x <, ()y g x =单调递减; 当()0,x ∈+∞, ()'0g x >, ()y g x =单调递增. 所以()()min 00g x g ==,所以()2f x x x ≥-+.20.(1)62n a n =-(2)见解析【解析】试题分析: (1)由1234,10,16a a a ===,猜想62n a n =-;试题解析:解:(1)1234,10,16a a a ===,猜想62n a n =-;(2)①验证1n =时成立; ②假设,n k k N +=∈时,猜想成立,即有62k a k =-,由153618k k a a k ++=+,,及62k a k =-,证得1n k =+时成立,故命题成立.(2)①当1n =时, 14612a ==⨯-成立;②假设,n k k N +=∈时,猜想成立,即有62k a k =-, 由153618k k a a k ++=+,,及62k a k =-,得()164612k a k k +=+=+-,即当1n k =+时猜想成立, 由①②可知, 62n a n =-对一切正整数n 均成立. 21.(Ⅰ)5n =(Ⅱ)690x (Ⅲ)263405x 【解析】试题分析:(Ⅰ)99224=-n n Θ,322=∴n ,.5=∴n 4分(Ⅱ)()()3410525325133r rr rrr r xC x x CT +-+==,令63410=+r,得2=r . 展开式中6x 的项为662253903x x C T ==. 8分(Ⅲ)设第1+r 项的系数为1+r t ,则rrr C t 351=+,由⎩⎨⎧≥≥+++rr r r t t t t 121,得2927≤≤r ,所以4=r . 展开式系数最大项为32632644554053x x C T ==. 12分考点:二项式定理点评:二项式定理()na b +中通项1r n r rr n T C a b -+=是常考点,利用其可求出任意一项;展开式的二项式系数和为2n,系数和只需令未知量为1即可22.(1)1;(2)详见解析;(3):或.【解析】试题分析:(1)求出()f x 的导函数,研究单调性,即可得到函数的极小值;(2)对参数a 分类讨论,明确函数的单调区间;(3)原问题等价于在区间[]1,e 上存在一点0x ,使得,即求函数()h x 的最小值即可.试题解析: (1)的定义域为,当时,,,(0,1) 1 -+极小值所以在处取得极小值1.(2),,①当时,即时,在上,在上,所以在上单调递减,在上单调递增;②当,即时,在上,所以,函数在上单调递增.综上所述,①当时,的单调递减区间是,单调递增区间是;②当时,函数的单调递增区间是,不存在减区间.(3)在上存在一点,使得成立,即在上存在一点,使得,即函数在上的最小值小于零.由(2)可知①即,即时,在上单调递减,所以的最小值为,由可得.所以;②当,即时,在上单调递增.所以最小值为,由可得;③当,即时,可得最小值为,因为,所以,,故,此时,不成立.综上讨论可得所求的范围是:或.。