【讲义】二次函数与一
次函数、一元二次方程、不等式(组)
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
二次函数与一次函数、反比例函数、
一元二次方程、不等式组
课程目标：
灵活运用二次函数的性质解一元二次方程；
熟练解决二次函数与与其它函数结合的有关问题。

课程要求：
完成讲义中的练习；
完成课后配套练习。

一、二次函数与一元二次方程、不等式（组）
例1．函数（是常数）的图像与轴的交点个
数为（）
Ａ．0个Ｂ．1个Ｃ．2个
Ｄ．1个或2个
例2.已知实数x，y满足x2＋3x＋y－3＝0，则x＋y的最大值
为 .
例3.设函数y=x2﹣（k+1）x﹣4（k+5）的图象如图所示，它与x 轴交于A、B两点，且线段OA与OB的长的比为1：4，则k=
_________ ．
例4. 如图10-2，是二次函数y＝ax2+bx+c图
象的一部分，其对称轴为直线x＝1，若其与
x轴一交点为A（3，0），则由图象可知，不
等式ax2＋bx＋c＜0的解集
是 .
例5. 已知P（3,m
-)和Q（1，m）是抛物线2
21
y x bx
=++上的两点．
（1）求b的值；
22
y mx x m
=+-m x
（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；
（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．
【当堂练】
1.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象如图
10-1所示，则下列结论正确的是( )
A ．a ＞0
B ．c ＜0
C ．b 2－4ac ＜0
D ．a ＋b ＋c ＞0
2.如图所示，函数的图像与轴只有
一个交点，则交点的横坐标 ．
3.二次函数的图像与轴的交点坐标为 ． =ax2+bx+c 中，a<0，抛物线与x 轴有两个交点A （2，0）B （-1，0），则ax2+bx+c>0的解是____________; ax2+bx+c<0的解是____________
5. 抛物线与轴有
个交点，因为其判别式
0，相应二次方程的根的情况为
． 2(2)7(5)y k x x k =--+-x 0x =269y x x =-+-x 2283y x x =--x 24b ac -=23280x x -+=Ｏ
6.关于的方程有两个相等的实数根，则相应二
次函数与轴必然相交于
点，此时 ．
7.平面直角坐标系中，若平移二次函数y=(x-2009)(x-2008)+4的图象，使其与x 轴交于两点，且此两点的距离为1个单位，则平移方式为（ ）
A ．向上平移4个单位
B ．向下平移4个单位
C ．向左平移4个单位
D ．向右平移4个单位
8.若关于x 的一元二次方程0522=++ax x 的两根在1与2之间（不含1和2），则a 的取值范围是 ．
9.右图是二次函数y 1=ax 2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的
图像，•观察图像写出y 2≥y 1时，x 的取值范围_______．
10.已知抛物线的顶点在抛物线上，且抛物线在轴上截得的线段长是和的值．
11.已知函数．
（1）求证：不论为何实数，此二次函数的图像与轴都有两个不同交点；
（2）若函数有最小值，求函数表达式．
12.关于x 的一元二次方程22(1)2(2)10m x m x ---+=.
（1）当m 为何值时，方程有两个不相等的实数根；
x 25mx mx m ++=25y mx mx m =++-x m =21()3
y x h k =--+2y x =x 43h k 22y x mx m =-+-m x y 54
-
（2）点()11A --，
是抛物线22(1)2(2)1y m x m x =---+上的点，求抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点B 与点A 关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B 的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.
二、二次函数与一次函数、反比例函数
例1．当路程s 一定时，速度v 与时间t 之间的函数关系是（ ）
A ．正比例函数
B ．反比例函数
C ．一次函数
D ．二次函数
例2. 在同一坐标系内，一次函数y=ax+b 与二次函数y=ax 2
+8x+b 的图象可能是（ ）
例2.函数2y kx =-与k y x =
（k ≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
例3.如图，直线y=kx+b与反比例函数y=（x＜0）的图象相交于点A、
点B，与x轴交于点C，其中点A的坐标为（﹣2，4），点B的横坐标为﹣4．
（1）试确定反比例函数的关系式；
（2）求△AOC的面积．
例4.如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A
（0，1）、B（－33，1）、C（－33，0）、O（0，0）．将
此矩形沿着过E（－3，1）、F（－43
3
，0）的直线EF向右
下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′．
（1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，
求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使
得△PBC周长最小如能，求出点P的
坐标；若不能，说明理由．
例5．如图，过y轴上点A的一次函数与反比例函数相交于B、D两点，B （﹣2，3），BC⊥x轴于C，四边形OABC面积为4．
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求点D的坐标；
（3）当x在什么取值范围内，一次函数的值大于反比例函数的值．（直接写出结果）
【当堂练】
1.二次函数y=ax 2
+bx 的图象如图所示，那么一次函数y=ax+b 的图象大致是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
. 2.函数y=x 2+bx+c 与y=x 的图象如图所示，有
以下结论：
①b 2
﹣4c ＞0；②b+c+1=0；③3b+c+6=0；④当
1＜x ＜3时，x 2+（b ﹣1）x+c ＜0．
其中正确的个数为（ ）
A ． 1
B ． 2
C ． 3
D ． 4
3.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m 和y=﹣mx 2
+2x+2（m 是常数，且m≠0）的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．二次函数y=ax 2
+bx+c （a≠0）的图象如图所示，则函数y=与y=bx+c 在同一直角坐标系内的大致图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．根据下图所示程序计算函数值，若输入的x 的值为
52
，则输出的函数值为 .
6. 定义[]p q ，为一次函数
y px q =+的特征数．
（1）若特征数是[]22k -，的一次函数为正比例函数，求k 的值；
（2）设点A B ，分别为抛物线()(2)y x m x =+-与x 轴、y 轴的交点，其中0m >，且OAB △的面积为4，O 为坐标原点，求图象过A 、B 两点的一次函数的特征数．
7.已知：二次函数
的图象经过点（1，0），一次函数图象经过原点和点（1，－b ），其中且、为实数．
（1）求一次函数的表达式（用含b 的式子表示）；
（2）试说明：这两个函数的图象交于不同的两点；
（3）设（2）中的两个交点的横坐标分别为x1、x2，求| x1
－x2 |的范围．
8.如图，直线3+-=x y 与x 轴，y 轴分别交于B ，C 两点，抛物线c bx x y ++-=2经过点B 和点C ，点A 是抛
物线与x 轴的另一个交点.
（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）若点Q 在抛物线的对称轴上，能使
△Q AC 的周长最小，请求出Q 点的坐标；
（3）在直线BC 上是否存在一点P ，且
31：＝：PAB PAC S S ∆∆，若存在，求P 点的坐标，若
不存在，请说明理由.
22y ax bx =+-0a b >>a b
9.如图，在平面直角坐标系中，直线33--=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C. 抛物线c bx x y ++=2经过A 、C 两点，且与x 轴交于另一点B(点B 在点A 右侧).
（1）求抛物线的解析式及点B 坐标；
（2）若点M 是线段BC 上一动点，过点M 的直线EF 平行y 轴交x 轴于点F ，交抛物线于点E.求ME 长的最大值；
（3）试探究当ME 取最大值时，在抛物线x 轴下方是否存在点P ，使以M 、F 、B 、P 为顶点的四边形是平行四边形若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.。