高中数学-等比数列测试题
(建议用时：45分钟)
[基础测试]
一、选择题
1.2＋3与2－3的等比中项是( ) A.1 B.－1 C.±1 D.2 【解析】 2＋3与2－3的等比中项为G ＝±2＋32－3＝±1，故选C.
【答案】 C
2.在等比数列{a n }中，a 2 017＝8a 2 016，则公比q 的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.8
【解析】 由等比数列的定义知q ＝a 2 017
a 2 016
＝8. 【答案】 D
3.在等比数列{a n }中，|a 1|＝1，a 5＝－8a 2，a 5＞a 2，则通项公式a n ＝( )
【导学号：18082094】
A.(－2)
n －1
B.－(－2)
n －1
C.(－2)n
D.－(－2)n
【解析】 根据a 5＝－8a 2，有a 1q 4
＝－8a 1q ，得q ＝－2. 又因为a 5＞a 2，所以a 5＞0，a 2＜0，a 1＞0. 所以a 1＝1，所以a n ＝(－2)n －1
.
【答案】 A
4.若实数a ，b ，c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ，b ，c 均不为0)的图象与
x 轴的交点个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.不确定
【解析】 因为b 2
＝ac ＞0，且a ，b ，c 均不为0，所以Δ＝b 2
－4ac ＝－3ac ＜0，故f (x )＝ax 2
＋bx ＋c 的图象与x 轴无交点.
【答案】 A
5.已知等比数列{a n }满足a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，则a 3＋a 5＋a 7＝( ) A.21 B.42 C.63
D.84
【解析】 ∵a 1＝3，a 1＋a 3＋a 5＝21，∴3＋3q 2
＋3q 4
＝21， ∴1＋q 2
＋q 4
＝7，解得q 2
＝2或q 2
＝－3(舍去). ∴a 3＋a 5＋a 7＝q 2
(a 1＋a 3＋a 5)＝2×21＝42.故选B. 【答案】 B
二、填空题
6.在等差数列{a n }中，公差d ≠0，且a 1，a 3，a 9成等比数列，则
a 1＋a 3＋a 9
a 2＋a 4＋a 10
＝________.
【解析】 由题意知a 3是a 1和a 9的等比中项，∴a 2
3＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2
＝a 1(a 1＋8d )，得a 1＝d ，
∴
a 1＋a 3＋a 9a 2＋a 4＋a 10＝13d 16d ＝13
16
.
【答案】
1316
7.已知等比数列{a n }中，a 3＝3，a 10＝384，则该数列的通项a n ＝________.
【导学号：18082095】
【解析】 由已知得a 10a 3＝a 1q 9a 1q
2＝q 7＝128＝27
，故q ＝2.
所以a n ＝a 1q
n －1
＝a 1q 2·q
n －3
＝a 3·q
n －3
＝3×2
n －3
.
【答案】 3×2n －3
8.在等比数列{a n }中，a n >0，且a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9，则a 4＋a 5＝________. 【解析】 由已知a 1＋a 2＝1，a 3＋a 4＝9， ∴q 2
＝9，∴q ＝±3，∵a n ＞0，∴q ＝3， ∴a 4＋a 5＝(a 3＋a 4)q ＝27. 【答案】 27 三、解答题
9.已知等比数列{a n }，若a 1＋a 2＋a 3＝7，a 1a 2a 3＝8，求a n . 【解】 法一：因为a 1a 3＝a 2
2，
a 1a 2a 3＝a 32＝8，所以a 2＝2.
从而⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋a 3＝5，a 1a 3＝4，
解得a 1＝1，a 3＝4或a 1＝4，a 3＝1. 当a 1＝1时，q ＝2；当a 1＝4时，q ＝12.
故a n ＝2
n －1
或a n ＝2
3－n
.
法二：由等比数列的定义，知a 2＝a 1q ，a 3＝a 1q 2
.
代入已知，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋a 1q ＋a 1q 2
＝7，
a 1·a 1q ·a 1q 2
＝8，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
a 11＋q ＋q
2
＝7，
a 31q 3
＝8，
即⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 11＋q ＋q 2
＝7， ①
a 1q ＝2. ②
将a 1＝2q 代入①，得2q 2
－5q ＋2＝0，所以q ＝2或q ＝12
.
由②，得⎩⎪⎨
⎪⎧
a 1＝1，
q ＝2
或⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝4，q ＝1
2
，
故a n ＝2
n －1
或a n ＝2
3－n
.
10.数列{a n }，{b n }满足下列条件：a 1＝0，a 2＝1，a n ＋2＝a n ＋a n ＋1
2
，b n ＝a n ＋1－a n .
(1)求证：{b n }是等比数列； (2)求{b n }的通项公式.
【导学号：18082096】
【解】 (1)证明：∵2a n ＋2＝a n ＋a n ＋1，
∴b n ＋1b n ＝a n ＋2－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝a n ＋a n ＋1
2
－a n ＋1
a n ＋1－a n
＝－1
2
.
∴{b n }是等比数列.
(2)∵b 1＝a 2－a 1＝1，公比q ＝－1
2
，
∴b n ＝1×⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12n －1
.
[能力提升]
1.已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 6＋a 7
a 8＋a 9等于( )
A.2＋1
B.3＋2 2
C.3－2 2
D.22－3 【解析】 设等比数列{a n }的公比为q ， 由于a 1，1
2
a 3,2a 2成等差数列，
则2⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 3＝a 1＋2a 2，即a 3＝a 1＋2a 2， 所以a 1q 2
＝a 1＋2a 1q . 由于a 1≠0，
所以q 2＝1＋2q ，解得 q ＝1± 2. 又等比数列{a n }中各项都是正数， 所以q >0，所以q ＝1＋ 2.
所以a 6＋a 7a 8＋a 9＝a 1q 5＋a 1q 6a 1q 7＋a 1q 8＝1q 2＝
11＋2
2
＝3－2 2.
【答案】 C
2.已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A.2
B.1
C.12
D.18
【解析】 法一：∵a 3a 5＝a 2
4，a 3a 5＝4(a 4－1)， ∴a 2
4＝4(a 4－1)，
∴a 24－4a 4＋4＝0，∴a 4＝2.又∵q 3
＝a 4a 1＝21
4
＝8，
∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝1
2
，故选C.
法二：∵a 3a 5＝4(a 4－1)，∴a 1q 2
·a 1q 4
＝4(a 1q 3
－1)， 将a 1＝14代入上式并整理，得q 6－16q 3
＋64＝0，
解得q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝1
2，故选C.
【答案】 C
3.设等比数列{a n }满足a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5，则a 1a 2…a n 的最大值为________. 【解析】 设{a n }的公比为q ，由a 1＋a 3＝10，a 2＋a 4＝5得
a 1＝8，q ＝12，则a 2＝4，a 3＝2，a 4＝1，a 5＝12
，
∴a 1a 2…a n ≤a 1a 2a 3a 4＝64. 【答案】 64
4.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2a n ＋1，证明{a n }是等比数列，并求出通项公式. 【证明】 因为S n ＝2a n ＋1，所以S n ＋1＝2a n ＋1＋1. 所以a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2a n ＋1＋1)－(2a n ＋1) ＝2a n ＋1－2a n ， 所以a n ＋1＝2a n . 又因为S 1＝2a 1＋1＝a 1， 所以a 1＝－1≠0.
又由a n ＋1＝2a n ，知a n ≠0，
所以
a n ＋1
a n
＝2， 所以{a n }是等比数列. 因为a 1＝－1，q ＝2， 所以a n ＝－1×2
n －1
＝－2
n －1
.。