（2）单调性： 若A ⊂ B ⊂ R n , 有m∗ A ≤ m∗ B
m( （3）次（准）可数可加性：
∗
∗ E ) ≤ m ∪ j ∑ Ej j =1 j =1
∞
∞
（4）分离条件下的可数可加性：设 E j ⊂ R n , j = 1, 2,
n 若存在一列互不相交的开集 {G j }∞ 使得 E j ⊂ G j , j = 1, 2, ⊂ R j =1
{I j }∞ 引理2 设 G 是 R n中非空开集， {J k }∞ 是两组互不相交左开右闭的区间，且 j =1， k= 1
G = ∪ I j = ∪ Jk
j =1 k =1 ∞ ∞
，那么
∑I
j =1
∞
j
= ∑ Jk
k =1
∞
开集体积的定义 设 G 是 R n 中开集 （1）若 G = Φ，则记 G = 0 （2）若 G ≠ Φ ，且 G 可以表示成可数个互不相交的左闭右开之并 ∞ 则记
Q = {a1 , a2 ,..., an ,...}, Βιβλιοθήκη ε > 0, ∪ (an −
n =1
∞
ε
2
, an + n +1
ε
2
n +1
)⊃Q
由外测度定义有 0 ≤ m Q ≤ ∑
∗ n =1
∞
ε
2
n
. *Q = 0 = ε 故由于 ε 的任意性，即可得m
[0,1] 中的Cantor集 E 的外测度为0。 （5）
实变函数论
第10讲
第三章 测度论
§1开集的体积 §2 点集的外测度
19世纪下半叶，不少分析学家进行一系列扩充长度和面 积概念的探索，逐渐形成测量概念。1898年，博雷尔（Borel ）建立了一维点集的测度，法国数学家勒贝格(Lebesgue）在 20世纪初叶系统的建立了测度论，并成功地建立起新的积分 理论，它发表于1902年的论文《积分、长度与面积》被公认 为现代测度和积分理论的奠基之作。1915年，法国数学家弗 雷歇（M.Frechet）提出在一般代数上建立测度，开始创立抽 象测度理论。1918年左右希腊数学家卡拉泰奥多里（ Caratheodory）关于外测度的研究，对于现代形式测量理论 的形成起了关键作用。本章将介绍基于卡拉泰奥多里外测度 理论上的测度理论。 上点集的测度是关于点集的一种度量，它是长度、面积 和体积的一种直接而自然的推广；它是积分理论的基石。积 分是黎曼积分的推广，它将积分对象从黎曼可积函数类扩充 到更大一类函数——可测函数。
∞ j j =1 j =1 j =1
∞
∞
G 也是开集，并且 G = G (5)如果G 经过平移变换和旋转变换后变为 G，
§2点集的外测度
1、定义 设 E ⊂ R
n
∗ ，记 m E = inf{ G ; G ⊃ E , G是开集} ，称之为 E
的勒贝格外测度，简称外测度
n 注1：任意点集 E ⊂ R
我们希望平面上的每个点集 E 都有类似区间面积 E ,同样 希望对一般空间点集 E 都有类似的量 E , 这个量应是一维 空间区间长度、二维空间矩形面积、三维空间长方体的体 积等概念的推广，保持面积如下的性质:
(1) 非负性：
E ≥0
(2)单调性： 若E1 ⊂ E2， 有 E1 ≤ E2 (3)可加性：若E1 ∩ E2 = Φ，有 E1 ∪ E2 = E1 + E2 (4)次可加性： E1 ∪ E2 ≤ E1 + E2 (5)平移不变性和旋转不变性：
n 均有外测度，即对任意的 E ⊂ R ，m∗ E
总存在，并且
0 ≤ m ∗ E ≤ +∞
∗ m 注2：由下确界的定义，对于 E
有（1）
（2）
∀覆盖E的开集G，有 m∗ E ≤ G
∀ε > 0, ∃覆盖E的开集G, 使得 G < m∗ E + ε
2、外测度的性质 定理 外测度具有如下的性质：
∗ n （1）非负性：对每一个 E ⊂ R 有m E ≥ 0，特别有m∗Φ = 0
勒贝格积分
ε >0
b = y0 < y1 <
f 在I 上有界
b ≤ f ( P ) < B, P ∈ I
< yk = B
yi − yi−1 < ,i =1,2, , k, I
Ei 互不相交
ε
Ei = { p ∈ I ; yi −1 ≤ f ( p) < yi },
bi = inf{ f ( p ); p ∈ Ei }, Bi = sup{ f ( p ); p ∈ Ei }, i = 1, 2,
n
黎曼积分
f ( x, y )
I = {( x, y ); a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d }
< xn = b; c = y0 < y1 <
n ,m i, j
Δ : a = x0 < x1 <
< ym = d
n ,m i, j
S Δ ( f ) − sΔ ( f ) < ε
SΔ ( f ) = ∑ Bi , j I i , j , sΔ ( f ) = ∑ bi , j I i , j
I i , j = {( x, y ); xi −1 ≤ x ≤ xi ; y j −1 ≤ y ≤ y j }
λ = max{Bi , j − bi , j ;1 ≤ i ≤ n,1 ≤ j ≤ m},
SΔ ( f ) − sΔ ( f ) ≤ λ ∑ I i , j = λ I
i, j
n,m
非负性 二维面积所具 单调性 有的特点？ 次可加性 可加性 平移不变、旋转不变性
证明 因为 E = ∩ Fn
n =1 ∞
−n 其中Fn 为 2 n 个长度为 3 的闭区间的并集，所以
m* E ≤ m* Fn ≤ 2n 3− n ， 令n → ∞ ，m* E = 0
作业 57页3
∞
∞
3、求点集的外测度：
（1） R n 中单点集的外测度为零。 （2）凡区间 I 的外测度等于其体积 | I | （3） 证明若E有界，则
m * E < +∞
证明 不妨令 E ⊂ I ⊂ R n ，其中I为有界开区间。 由外测度定义即得
m * E ≤| I |< +∞
（4）有理数集的外测度为0
证明 设
有E = E 若 E 经过平移变换和旋转变换后变为 E ，
§1开集的体积
1、区间及体积
（1）区间体积的定义：闭区间 I = {( x1 , x2 ,..., xn ) | ai ≤ xi ≤ bi , ai , bi ∈ R, i = 1, 2,..., n}， 开区间,半开半闭区间等,均为 R n 中有界集,且体积为 | I |= （2）区间体积的性质
S( f ) =
k
∪E
i =1
k
i
= I
,k
i
∑B
i =1
k
i
Ei , s ( f ) =
∑b
i =1
k
Ei ,
k
Ei 是Ei的"面"
ε
I
k
如果 ∑ Ei = I ,
i =1
S ( f ) − s( f ) ≤
∑ (y
i =1
i
− y i −1 ) E i ≤
∑
i =1
Ei =
ε
I
k
I =ε
Ei 现在一般来说不再是区间，他们有没有面积，什么是他们的面积，另外 ∑ Ei = I i =1 是不是一定成立呢？
G = ∑ Ij
j =1
∪I
j =1
∞
j
开集体积的性质 定理2 设 G和Gk , k ≥ 1 是R n中开集
(1)如果G ≠ Φ，有 G > 0
(2)如果G1 ⊂ G2 , 有 G1 ≤ G2
(3) ∪ G j ≤ ∑ G j
j =1 j =1
∞
∞
(4)如果{G } 是互不相交的，有 ∪ G j = ∑ G j
∏ (b − a )
i =1 i i
n
定理1 设 {I }
n1 j j =1
{J }
n2 k k =1
n1 { I } 是两组区间。如果 j j =1 两两不相交，且
∪
n1
Ij ⊂
j =1
∪
n2
Jk
k =1
，则
∑I
j =1
n1
j
≤ ∑ Jk
k =1
n2
2、开集及体积 引理1 在R n 中，任意非空开集总可以表示成可数个互不相交半开半闭（即 左开右闭或者左闭右开）区间之并，表法不唯一。
∗ m ( E ) = m 则有 ∪ j ∑ Ej ∗
j =1 j =1
∞
∞
（5）外测度在平移和旋转变换下是不变的（58页8）
n 注1 外测度不满足可数可加性，即设 E j ⊂ R , j = 1, 2,
，互不相交
m (∪ E j ) = ∑ m∗ E j ，不一定成立 ，例如：55页例题
∗ j =1 j =1