第8章正弦量与相量教学目的：本章是利用正弦量和复数之间的对应关系引入相量的概念，从而可以将微分方程的特解问题转化成解复数代数方程的问题，使正弦激励下线性正弦稳态电路的求解简单化；为下章分析正弦稳态复杂电路打下基础。

要求：1.了解正弦波形的数学描述；2.理解用相量表示正弦量；3.掌握两类约束的相量形式；4.掌握用相量法求解简单正弦稳态电路；5.深刻理解阻抗和导纳；掌握阻抗和导纳的相互转换和串并联等效。

）重点：1.用相量表示正弦量。

2. 用相量法求解简单正弦稳态电路。

3.阻抗和导纳的概念。

难点：用相量表示正弦量并用相量法求解简单正弦稳态电路；相量图，阻抗和导纳。

内容：1.正弦量2. 正弦量的相量表示3 三种基本电路元件和电路定律的相量形式4 阻抗和导纳}5 阻抗（导纳）的串联和并联本章和后续几章只研究电路在正弦激励下的稳态响应。

本章介绍电压、电流随时间按正弦规律变化的电路即正弦电流电路，这是一类在理论上和工程上具有重要意义的电路。

主要内容包括：正弦量的相量表示、元件方程和基尔霍夫定律的相量形式、阻抗和导纳的概念、电路方程和电路定理的相量形式、含互感的正弦电流电路的计算、正弦电流电路功率的特点及计算方法。

§8-1 正弦量基本要求：掌握正弦量的振幅、角频率和初相位；正弦量的瞬时值、有效值和相位差。

`正弦量：随时间按正弦规律变化的（变）量称为正弦量，可用sin 或cos 表示，这里采用cos 表示法。

一、 正弦量的三要素设某支路电流按正弦规律变化，其瞬时值表达式为)cos()(i m t I t i ψω+=，波形如图8-1所示。

1. 振幅I m ：最大的瞬时值。

即2. 角频率ω：也称为角速度它是相位随时间变化的快慢程度。

即)(i t dtdψωω+=,单位为弧度/秒（rad/s ）。

角频率跟周期T 和频率f 之间的关系为 f πω2=，T f /1=周期T 的单位为s ，频率f 的单位为1/s ，称为赫兹（Hz ，简称赫）。

我国电力网正弦交流电的频率是50Hz 。

工程中常以频率区分电路，如音频（20～20×103Hz ）电路。

3. 初相位（角）：) (u t ψω+为正弦量的相位或相角，它表示正弦量的变化进程，0=t 时的相位称为初相位（角），即i t i t ψψω=+=0) (^这三个量称为正弦量的三要素。

图8-1 正弦量)(t i 的波形二、 有效值的定义、正弦量的有效值1.有效值的定义：周期电流的有效值等于其瞬时值的平方在一个周期内积分的平均值的平方根，故有效值又称方均根值。

工程上，对于周期变化的电流、电压而言，如两个值相等的电阻R ，分别给它们通入直流电流I 和周期变化的电流i （设周期为T ），如果在相同的时间T 内，设两个电阻消耗的能量相等，即dt R i RT I T⎰=0 22)cos()(it m t i I ψω+=【由该式得dt i TI T ⎰=21 (8-3)式中I 就是周期电流的有效值。

2. 正弦量的有效值：若周期电流为正弦量，即)cos(i m t I i ψω+=，代入（8-3）式，有 m m Ti mTi mI I dt t I T dt t I TI 707.021])(2cos 1[ 21)(cos 1 0222==++=+=⎰⎰ψωψω I I I m 414.12== U U U m 414.12== (8-4)最大值是有效值的2倍。

"正弦电流和正弦电压的瞬时值表达式可以分别写为)cos(2)(i t I t i ψω+= ，)cos(2)(u t U t u ψω+=工程上电气设备铭牌上所标的额定电流、电压，交流电压表、电流表（电磁系仪表）所测的都是有效值。

三、 正弦量的相位差1.定义：相位差是两个同频率正弦量之间的相位之差。

设两个同频率的正弦电压u 和电流i 分别为)cos(2)(u t U t u ψω+=，)cos(2)(i t I t i ψω+=其波形如图8-2所示。

电压和电流之间的相位差为电压的相位减去电流的相位，即iu i u t t ψψψωψωϕ-=+-+)()(＝·图8-2 两个同频率正弦量的相位差相位差ϕ是在主值范围 180 ≤ϕ内取值的。

相位差反映了同频率正弦量的“超前”、“滞后”的关系。

2.结论：当0>ϕ称u 超前i ，如图8-2所示。

u 超前i 说明u 先到达正的最大值； 当0<ϕ称u 滞后i ； 当0=ϕ称u 和i 同相位； 当2/ πϕ=称u 与i 正交；-当πϕ= 称u 与i 彼此反相。

例8-1 设有两个同频率的正弦电流分别为A )135cos(210)(1 +=t t i ω，A )sin(25)(2t t i ω=，求它们的相位差，并说明超前、滞后关系。

解 首先将2i 改写成用cosine 函数的表示形式，即)90cos(25)sin(25)(2 -==t t t i ωω根据式（8-6），有013522590(13521<--=-= ＝－）＝ψψϕ因为0<ϕ，所以1i 滞后于2i 135。

§8-2 正弦量的相量表示）为了求解一个正弦量激励的电路，如果直接用瞬时值表达式进行运算，计算将很繁琐，有时甚至是不可能的。

为此，借助复数来表示正弦量，进而简化正弦量之间的运算，使正弦稳态电路的分析和计算简单化。

下面首先复习一下复数。

一、 复数的复习1.复数F （向量）形式一个复数F 可有几种表示形式，在复平面上的如图8-3所示。

(1) 直角坐标式：jb a F += 式中1-=j 为虚单位（因为电路中i 表示电流，则用j ）。

θcos ]Re[F F a ==， θsin ]Im[F F b ==， ]arg[F =θ1图8-3 复数的表示(2)、(3)三角函数表达式、指数式或极坐标式：利用尤拉公式θθθsin cos j e j +=，可得复数F 的三角函数表达式、指数表达式以及极坐标表达式，即θθθθ∠==+=+=F e F F j F jb a F j sin cos2.复数的运算：（1） 复数的加减运算：设111jb a F +=和222jb a F +=，)()()()(2121221121b b j a a jb a jb a F F ±+±=+±+=+复数的加减运算可以在复平面上按平行四边形法求得，见图8-4。

1+1+(（a ）代数和 （b ）代数差图8-4 复数的加减运算图示法（2）复数的乘法与除法运算：用指数 或极坐标方式比较方便，设11111θθ∠==F e F F j 和22222θθ∠==F e F F j ，它们的乘法 2121)(2121212121θθθθθθ+∠==⋅=+F F e F F e F e F F F j j j 除法运算 2121)(2111212121θθθθθθ-∠===-F F e F F e F e F F F j j j 图8-5为两个复数相乘的图解表示。

两个复数相乘结果是模相乘，辐角相加；两个复数相除结果是模相除，辐角相减。

1+)图8-5复数乘法运算的图示法3.旋转因子 ：任意复数F 乘以单位复数θj e 等于把复数F 逆时针旋转一个角度θ，而模值却不变，称单位复数θj e 为旋转因子。

若2/πθ±=，则j e j ±=±90，因此称j ±为 90旋转因子。

一个复数乘以j ±等于将该复数逆（或顺）时针旋转 90。

例8-2 将下列复数1051j F +=，432j F +-=，342j F --=和40104j F -= 写成极坐标形式。

解 求解时注意复数所处的象限。

4.6318.11)510arctan(105105221∠=∠+=+=j F9.1265)34arctan(4)3(43222∠=-∠+-=+-=j F 1.1435)43arctan()3()4(34223-∠=--∠-+-=--=j F |0.7623.41)1040arctan(40104010224-∠=-∠+=-=j F 例8-3 设861j F +=， 13552∠=F ，求21F F +、21F F 和21/F F 。

解 1.5310861∠=+=j F ，5.35.3)135sin 135(cos 513552j j F +-=+=∠= ，则 7.7777.11)5.2/5.11arctan(5.115.25.115.25.35.3862221∠=∠+=+=+-+=+j j j F F9.171501.18850)1355)(1.5310(21-∠=∠=∠∠=F F9.812)1351.53(213551.531021-∠=-∠=∠∠=F F 三、 相量的定义设复数θj e F F =，如果ψωθ+=t ，则|)sin()cos()(ψωψωψω+++==+t F j t F e F F t j取F 的实部，即)cos(]Re[ψω+=t F F设)cos(2)(i t I t i ψω+=，则] 2Re[] 2Re[] 2Re[)()(t j t j j t j e Ie e I e I t i i i ωωψψω ===+ ij I e I Ii ψψ∠== 定义I为正弦电流)(t i 的“有效值”相量，称为电流相量。

是一个复数，t j e I ω 2说明给复数I乘以2后，它以角速度ω逆时针方向旋转，在实轴上的投影就是正弦电流)(t i ，这一对应关系如图8-6所示。

由于复平面上表示的是相量，所以图8-7称为相量图。

因为相量代表着正弦量，所以只有同频率的正弦量所对应的相量才可以画在同一个相量图上。

<图8-6 复数与正弦量的对应关系1图8-7 正弦量的相量图三、 时域运算和相量运算的关系引入相量就是将时域中的正弦量变换到相量域（复数域）的相量（复数）形式，利用复数工具分析正弦稳态电路。

时域正弦电压和复数域电压相量之间的对应关系为uuU Ut U t u ψψω∠=⇔+= )cos(2)( （时域） （相量域）"式中⇔表示了正弦量相量与其对应的正弦量之间的映射关系，它们之间可以相互转换。

下面讨论时域正弦量的运算关系映射到相量域的运算关系。

1． 同频率正弦量的代数和运算 设正弦量电压)cos(2111ψω+=t U u ，)cos(2222ψω+=t U u ，…，各自的相量分别为1U，2U ，…，设它们的和仍为正弦量电压，则 )cos(2]2Re[])(2Re[]2Re[]2Re[211121u t j t j t j t j t U e U e U U e U e U u u u ψωωωωω+==++=++=++=++=21U U U 结论：时域正弦量的代数和映射到相量域为对应各相量的代数和。