A B S S A B
d f AB
M S AB SS AB
df AB
FAB
MSAB MSE
F (a 1b 1, abn 1)
误差
SSE
d fE
MSE
SSE dfE
总和 S S T d f T
这里 dfABdfAdfB各离差平方和的计算公式参看出P180_181
例3 P183 例题2 因素 B（蛋白质）
可推得：
SST
2
~ 2 ab1
SSA
2
~
2
a1
SSB
2
~
2 b1
SSE
2
~2a1b1
将
SST
2
,
SS2A,
SS2B,SS2E
的自由度分别记作
dfT,dfA,dfB,dfE ，则
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1
F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
成立，则 Xijk ~N,2 可推得： S S 2 A ~2 a 1 ,S S 2 B ~2 b 1 ,S S 2 T ~2 a b n 1
S S A 2 B ~2 a 1 b 1 ,S S 2 E ~2 a b n 1
则 F AS S S S E Ad d ffE AM M S S E A~Fa 1 ,a bn 1
双因素方差分析方法
双因素试验的方差分析
在实际应用中，一个试验结果（试验指标）往往 受多个因素的影响。不仅这些因素会影响试验结果， 而且这些因素的不同水平的搭配也会影响试验结果。
例如：某些合金，当单独加入元素A或元素B时， 性能变化不大，但当同时加入元素A和B时，合金性 能的变化就特别显著。
统计学上把多因素不同水平搭配对试验指标的 影响称为交互作用。交互作用在多因素的方差分析 中，把它当成一个新因素来处理。
F A S S S S E Ad d f fE A M M S S E A~ F a 1 ,a 1 b 1 F B S S S S E Bd d f fE B M M S S E B~ F b 1 ,a 1 b 1
对给定的检验水平 ，
当 F A F a 1 ,a 1 b 1 时，
各因素离差平方和的自由度为水平数减一，总平方 和的自由度为试验总次数减一。
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
简便计算式：
S S A D A p ,S S B D B p
S S E R D A D B p ,S S T R p
其中：
DA
a
Ti.2
b,
i1
p T2 ab,
DB
因素A（能量）
A1
A2
B 1
9.62 8.68 9.31 9.97 7.74 6.84 6.34 6.09
B 2
6.15 7.86 7.38 7.05 6.30 5.81 6.54 6.63
B 3
4.93 5.59 6.10 5.46 3.33 2.85 3.60 3.19
输入数据时，C2表示行因素 水平，C3表示列因素水平。 第几次重复不必列明，软件
总平均 的效应
试验误差
X ijkij ij ijk
观测值
因素A
交互作用
的效应 的效应
➢ 有交互作用的双因素试验的方差分析
线性统计模型 X ijkij ij ijk
其中
1
ab
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
b
T.
2 j
a,
j1
ab
R
X
2 ij
i1 j 1
例1 设甲、乙、丙、丁四个工人操作机器Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各一天， 其产品产量如下表，问工人和机器对产品产量是否有显著 影响？
机器 B 工人 A
甲 乙 丙 丁
a
T. j X ij i1
ⅠⅡ Ⅲ
50 63 52 47 54 42 47 57 41 53 58 48
bi1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ijijij 交互效应
ijk Xijk ij 试验误差
a
b
特性： i 0; j 0;
i1
j1
a
b
ij0 ; ij0 ;ijk~N 0 ,2
i 1
j 1
要判断因素A，B及交互作用AB对试验结果是否 有显著影响，即为检验如下假设是否成立：
H 0 1:12 La 0
...
Xabn
双因素（有重复）试验方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
F值
F 值临介值
因素A S S A 因素B S S B
d fA
MSA
SS A df A
FA
MSA MSE
d fB
MSB
SSB dfB
FB
MSB MSE
F ( a 1 ,
ab n 1) F (b 1 ,
ab n 1)
间的交互作用对试验指标的影响力.
双因素有重复（有交互作用）试验资料表
因素 B 因素 A
A1
...
B 1
X111 ... X11n
B 2 ...
X121
...
...
...
X12n
...
......
B b
X1b1 ...
X1bn
Xa11
Xa21
...
Xab1
Aa
...
...
...
...
Xa1n
Xa2n
SSA称为因素A的离差平方和，反映因素 A 对试验 指标的影响。 SSB称为因素B的离差平方和，反映因素 B 对试验指标的影响。SSAB称为交互作用的离差平方和， 反映交互作用AB对试验指标的影响。SSE称为误差平 方和，反映试验误差对试验指标的影响。
若“各因素、各水平及其交互作用的影响无统计意义”的假设
F BS S S S E Bd d ffB EM M S S E B~Fb 1 ,a bn 1
F A B S S S A S E B d d f fE A B M M S S A E B ~ F a 1 b 1 ,a b n 1
由 FA,FB,FAB作右侧假设检验来考察各因素及因素
拒绝H01，即A 因素的影响有统计意义。
当 F B F b 1 ,a 1 b 1 时，
拒绝H02，即B 因素的影响有统计意义。
F 右侧检验
双因素（无交互作用）试验的方差分析表
方差来源 平方和 自由度 均方和
因素A S S A 因素B S S B 误差 S S E 总和 S S T
d fA
MSA
双因素无重复（无交互作用）试验资料表
因素 B
因素 A
b
B 1 B 2 ... B b T i. X ij
j1
A1
X11 X12 ... X1b
T 1.
...
... ... ... ... . . .
Aa
Xa1 Xa2 ... Xab
T a.
a
ab
T. j X ij T .1 T .2 ... T .b T
我们只学习两个因素的方差分析，更多因素的 问题，用正交试验法比较方便。
➢无交互作用的双因素试验的方差分析
数学模型
假设某个试验中，有两个可控因素在变化，因素A 有a个水平，记作A1，A2，…，Aa；因素B有b个水平， 记作B1，B2，….Bb；则A与B的不同水平组合AiBj（i=1， 2，…，a；j=1，2，…，b）共有ab个，每个水平组合 称为一个处理，每个处理只作一次试验，得ab个观测 值Xij，得双因素无重复实验表
结论：工人对产品的产量有显著影响， 机器对产品的产量有极显著影响。
例1的上机操作
原始数据，行因素水平，列因素水平
对应例1 的数据输入方式
工人对产品产量有显著影响，而机器对产品产量的影响极显著。
（A）
*
（B）
**
0.010.0220.05 在 0.01下接受，在 0.05下否决
0.0010.01
自会识别。
结果显示如P185
均<0.01
饲料中能量的高低、蛋白质含量的不同 及两者的交互作用对鱼的体重的影响极 有统计意义。
各因素，各水平，各交互作用下的均值。
1 b
a i1
Ti.2
23495
DB
1 a
b
T.2j
j1
42040.67
p T2 31212 ab
SSTRp466
dfT n111
SSAD Ap114.67
dfA a13
SSBD Bp318.5
dfB b12
S S E S S T S S A S S B 3 2 .8 3dfEdfAdfb6
a i1
b
ij
j 1
所有期望值的总平均
i
1 a
b
ij
j1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差
i
1 a
b
ij
j1
ig
水平Ai对试验结果的效应
j
1 a
bi1
ij
gj
水平Bj对试验结果的效应
ij Xij ij
试验误差